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在归入[[线性代数]]的各种[[数学]]分支中，[[同态]]的'''核'''测量同态不及于[[单射]]的程度。

核的定义在不同上下文中采用不同的形式。但是在所有形式中，同态的核是平凡的（在与那个上下文有关的意义上），[[当且仅当]]这个同态是单射。[[同态基本定理]]（或[[第一同构定理]]）是应用于核所定义的[[商代数]]的采用了各种形式的一个定理。

== 例子纵览 ==
=== 线性算子 ===

设 ''V'' 和 ''W'' 是[[向量空间]]并设 ''T'' 是从 ''V'' 到 ''W'' 的[[线性变换]]。如果'''0'''<sub>''W''</sub> 是 ''W'' 的[[零向量]]，则 ''T'' 的核是[[单元素集合]] {'''0'''<sub>''W''</sub>} 的[[前像]]；就是说 ''V'' 的由被 ''T'' 映射到元素 '''0'''<sub>''W''</sub> 的那些 ''V'' 的元素构成的[[子集]]。核通常指示为“ker ''T''”，或者：

:<math> \mathop{\mathrm{ker}}\, T := \{\mathbf{v} \in V : T\mathbf{v} = \mathbf{0}_{W}\}\mbox{.} \! </math>

因为线性变换保持零向量，''V'' 的零向量'''0'''<sub>''V''</sub> 必须属于核。变换 ''T'' 是单射的，当且仅当它的核只是单元素集合 {'''0'''<sub>''V''</sub>}。

ker ''T'' 显然总是 ''V'' 的[[子空间 (线性代数)|子空间]]。因此，它使谈论[[商空间 (线性代数)|商空间]] ''V''/(ker ''T'') 有意义。对向量空间的第一同构定理声称这个商空间[[自然同构]]于 ''T'' 的[[像]]（它是 ''W'' 的子空间）。作为结论，''V'' 的[[维度]]等于核的维度加上像的维度。

如果 ''V'' 和 ''W'' 是有限维的向量空间，并且[[基 (线性代数)|基]]已经选择好了，则 ''T'' 可以用[[矩阵]] ''M'' 描述，而这个核可以通过解齐次[[线性方程组]] ''M'''''v''' = '''0''' 来计算。在这种表示中，核对应于 ''M'' 的[[零空间]]。零空间的维度叫做 ''M'' 的零化度（nullity）由 ''M'' 的纵列数减去 ''M'' 的[[矩阵的秩|秩]]得到，这是[[秩-零化度定理]]的结论。

解[[齐次微分方程]]经常涉及计算特定[[微分算子]]的核。例如，为了找到从[[实数轴]]到自身的所有二次[[可微函数]] ''f'' 使得
: ''x''''f''<nowiki>''</nowiki>(''x'') + 3''f'''(''x'') = ''f''(''x''),
设 ''V'' 是二次可微函数的空间，设 ''W'' 是所有函数的空间，定义从 ''V'' 到 ''W'' 的线性算子 ''T'' 为
: (''T''''f'')(''x'') = ''x''''f''<nowiki>''</nowiki>(''x'') + 3''f'''(''x'') - ''f''(''x'')
对于在 ''V'' 中的 ''f'' 而 ''x'' 是任意[[实数]]。这个微分方程的所有解都在 ker ''T'' 中。

你可以用类似方式定义在环之上的[[模]]之间的[[同态]]的核。这包括了在[[阿贝尔群]]之间的同态的核作为特殊情况。这个例子捕捉了在一般[[阿贝尔范畴]]内的核的本质；参见[[核 (范畴论)]]。

===群同态===
设 ''G'' 和 ''H'' 是[[群]]并设 ''f'' 是从 ''G'' 到 ''H'' 的[[群同态]]。如果 ''e''<sub>''H''</sub> 是 ''H'' 的[[单位元]]，则 ''f'' 的核是单元素集合 {''e''<sub>''H''</sub>} 的前像；就是说，''G'' 的由被 ''f'' 映射到元素 ''e''<sub>''H''</sub> 的所有 ''G'' 的元素构成的[[子集]]。核通常指示为“ker ''f''”。或者：
: <math> \mathop{\mathrm{ker}} f := \{g \in G : f(g) = e_{H}\}\mbox{.} \! </math>

因为群同态保持单位元素，''G'' 的单位元素 ''e''<sub>''G''</sub> 必须属于这个核。同态 ''f'' 是单射，当且仅当它的核只是单元素集合{''e''<sub>''G''</sub>}。

ker ''f'' 明显不只是 ''G'' 的[[子群]]，实际上还是[[正规子群]]。因此它使谈论[[商群]] ''G''/(ker ''f'') 有意义。群的第一同构定理声称这个商群[[自然同构]]于 ''f'' 的[[像]]（它是 ''H'' 的子群）。

在[[阿贝尔群]]的特殊情况下，这以同前面章节的完全同样的方式工作。

===环同态===
===幺半群同态===
==泛代数==

[[Category:线性代数|H]]
[[Category:态射]]

[[nl:Kern]]
[[pl:Jądro przekształcenia liniowego]]