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{{Expert|time=2015-12-14T03:43:01+00:00}}
'''核密度估计'''（{{Lang-en|Kernel density estimation}}，[[縮寫]]：'''KDE'''）是在[[概率论]]中用来估计未知的[[密度函数]]，属於[[非参数检验方法]]之一，由Rosenblatt (1955)和[[Emanuel Parzen]](1962)提出，又名[[Parzen窗]]（Parzen window）。Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计方法。

[[File:Kernel density.svg|thumb|right|250px|100個[[常態分佈]]的[[亂數]]的核密度估计]]

核密度估计在估计边界区域的时候会出现[[边界效应]]。

在单变量核密度估计的基础上，可以建立[[风险价值]]的预测模型。通过对核密度估计变异系数的加权处理，可以建立不同的风险价值的预测模型。

一些比较常用的核函数是：
均匀核函数
<math>k(x)=\frac{1}{2},\;-1\leq x\leq 1</math>，
加入带宽<math>h</math>后：
<math>k_h(x)=\frac{1}{2h},\;-h\leq x\leq h</math>。

三角核函数
<math>k(x)=1-|x|,\;-1\leq x\leq 1</math>，
加入带宽<math>h</math>后：
<math>k_h(x)=\frac{(h-|x|)}{h^2},\;-h\leq x\leq h</math>。

伽马核函数
<math>k_{x_i}(x)=\frac{x^{(\alpha-1)}\exp{(-x\alpha/x_i)}}{(x_i/\alpha)^\alpha\Gamma(\alpha)}</math>。

== 定义 ==
设<math>\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)</math>为从单变量分布中抽取的[[独立同分布]]样本，给定点<math>x</math>有未知的[[機率密度函數|概率密度]]<math>f</math>，我们对估计函数<math>f</math>的形状感兴趣，其核密度估计器是

: <math>
    \widehat{f}_h(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big),
  </math>

其中<math>K</math>是非负的核函数，带宽<math>h>0</math>为平滑参数。带下标h的核被称为缩放核，定义为<math>K_h(x)=1/h \cdot K(x/h)</math>。直觉上讲，在数据允许的范围内应当选择尽可能小的带宽；然而，[[估计量的偏差|偏差]]和方差之间总有所权衡。

常用的核函数有：均匀核（Uniform）、三角核（Triangular）、双权核（Biweight）、三权核（Triweight）、Epanechnikov核、正态核（Normal）等。从均方误差的角度来看，Epanechnikov核是最佳的<ref>{{cite journal |author=Epanechnikov, V.A. |year=1969 |title=Non-parametric estimation of a multivariate probability density |journal=Theory of Probability and Its Applications |volume=14 |pages=153–158 |doi=10.1137/1114019}}</ref>，尽管对于前面列出的核来说，效率的损失很小<ref name="WJ1995">{{Cite book|author1=Wand, M.P|author2=Jones, M.C.|title=Kernel Smoothing|publisher=Chapman & Hall/CRC|location=London|year=1995|isbn=978-0-412-55270-0}}</ref>。由于其数学特性良好，正态核经常被使用，即<math>K(x)=\phi(x)</math>，其中<math>\phi</math>是标准正态密度函数。

==参考文献==
*唐林俊、杨虎、张洪阳：核密度估计在预测风险价值中的应用 The Application of The Kernel Density Estimates in Predicting VaR，《数学的实践与认识》2005年10期

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[[category:时间序列]]