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[[理论物理学]]中，'''标量场论'''可以指相对论不变的[[经典场论|经典]]或[[量子场论|量子]]的[[标量场]]理论。标量场在任何[[洛伦兹变换]]下都是不变的。<ref>即，在洛伦兹群的平凡(0, 0)表示下发生变换，使得场在任何时空点上的值保持不变，这与[[向量场]]、[[张量场]]、旋子张量不同，后者的分量在洛伦兹变换下会发生混合。由于粒子或场的自旋由其变换所据的洛伦兹表示决定，因此所有标量（及伪标量）场和粒子的自旋都为零，因此根据[[自旋统计定理]]，它们都是[[玻色子]]。参见{{harvnb|Weinberg|1995|loc=Chapter 5}}</ref>

自然界中唯一观测到的基本标量量子场是[[希格斯场]]。标量量子场也出现在很多物理现象的[[有效场论]]描述中，例如[[π介子]]，实际上是[[伪标量]]。<ref>这意味着它在反转空间方向的[[宇称]]变换下会变化，与宇称不变的真标量有别。见{{harvnb|Weinberg|1998|loc=Chapter 19}}</ref>

由于不涉及极化的复杂问题，标量场往往最容易理解[[正則量子化#场算符|二次量子化]]。所以，标量场论常用于介绍新概念和新技术。<ref>{{cite book 
 |last=Brown
 |first=Lowell S.
 |author-link=Lowell S. Brown
 |title=Quantum Field Theory
 |publisher=[[Cambridge University Press]]
 |year=1994
 |isbn=978-0-521-46946-3 
}} Ch 3.</ref>

下面所用的度量的符号为{{math | (+, −, −, −)}}。

==经典标量场论==
{{further|拉格朗日量}}
本节的一般参考文献是Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. {{isbn|0-201-30450-3}},  Ch 1.

===线性（自由）理论===
最基本的标量场论是[[线性]]理论。通过场的[[傅立叶变换|傅立叶分解]]，可表示[[量子諧振子#耦合諧振子|无穷多耦合谐振子]]的[[简正模]]，其中谐振子的序号''i''的[[缩放极限]]现表示为{{mvar|x}}。则，[[相对论]]不变的标量场论的[[作用量]]可写作
:<math>\begin{align}
  \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} \\
              &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - \frac{1}{2} m^2\phi^2\right] \\[6pt]
              &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2\right],
\end{align}</math>

其中<math>\mathcal{L}</math>称作[[拉格朗日量|拉格朗日密度]]；<math>{\rm d}^{4-1}x\equiv {\rm d}x\cdot{\rm d}y\cdot{\rm d}z\equiv{\rm d}x^1\cdot{\rm d}x^2\cdot{\rm d}x^3</math>表示三个空间坐标；<math>\delta_{ij}</math>是[[克罗内克δ函数]]；<math>\partial_{\rho}=\partial/\partial x^{\rho}</math>表示第<math>\rho</math>个坐标<math>x^{\rho}</math>。

这是二次作用量的一个例子，因为每项都是场{{mvar|φ}}的二次项。与<math>m^2</math>成比例的项有时称作质量项，这是因为它在量子化版本中被解作粒子质量。

理论的运动方程由[[欧拉-拉格朗日方程|极限化]]上述作用得到，形式如下，与{{mvar|φ}}呈线性关系：

:<math>\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0 ~,</math>

其中∇<sup>2</sup>是[[拉普拉斯算子]]。这就是[[克莱因-戈尔登方程]]，被解释为经典场方程，而非量子力学波动方程。

===非线性（相互作用）理论===
上述线性理论最常见的推广是在[[拉格朗日量]]中加入[[标量势]]<math>V(\Phi)</math>，通常除了质量项之外，''V''还是<math>\Phi</math>的多项式。这种理论有时被称作相互作用理论，因为[[欧拉-拉格朗日方程]]现在是非线性的，意味着[[自能|自相互作用]]。最一般的此类理论的作用量是

:<math>\begin{align}
  \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} \\[3pt]
              &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi) \right] \\[3pt]
              &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[
                   \frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi -
                   \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n!} g_n\phi^n
                 \right]
\end{align}</math>

如下所述，在量子理论的费曼图展开中，引入''n''!因子是有用的。

相应的欧拉-拉格朗日方程是
:<math>\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu\phi + V'(\phi) = \partial^2_t \phi - \nabla^2 \phi + V'(\phi) = 0.</math>

===维度分析与缩放===
{{main|自然单位制#“自然單位制”（粒子物理學）}}
这些标量场论中的[[物理量]]可能具有长度、时间或质量维度，或三者的某种组合。

不过，相对论中，任何具有时间维度的量''t''都可用[[光速]]''c''轻易转换为长度<math>l=ct</math>；任何长度''l''也可由[[普朗克常数]]<math>\hbar</math>表示为<math>\hbar=lmc</math>。自然单位制中，可以将时间看做长度，将它们看做质量的倒数。

总之可以认为，任何物理量的维度都由一个独立的维度定义，而非由所有三个维度定义，这通常称为物理量的质量维。知道了每个量的维度，就可从自然单位表达式中唯一地恢复常规维度，重新插入维度一致所需的<math>\hbar</math>与''c''的幂即可。

可以预想反对意见：这理论是经典理论，因此普朗克常数的地位不明显。我们确实可以无质量维地重构它，但这会稍微模糊语量子标量场的关系。鉴于有质量维，[[普朗克常数]]这里被认为是本质上随机地固定的作用参考量（不一定与量子化有关），于是其维度适于在质量和逆长度之间转换。

====缩放维度====
{{mvar|φ}}的经典缩放维度或质量维度{{mvar|Δ}}描述了坐标缩放变换下的场变换：
:<math>x\rightarrow\lambda x</math>
:<math>\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.</math>

作用量单位与{{mvar|ħ}}的单位相同，因此作用量本身的质量维为零。这就将场{{mvar|φ}}的缩放维度固定为
:<math>\Delta =\frac{D-2}{2}.</math>

====标度不变性====
某些标量场论在某种意义上是标度不变的。虽然上述作用都被构造为零质量维，但并非所有作用都在缩放变换
:<math>x\rightarrow\lambda x </math>
:<math>\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~</math>
下不变。

并非所有作用量都不变，这是因为人们常把参数''m''、<math>g_n</math>视作定值，在上述变换下不变。因此，标量场论具有标度不变性的条件非常明显：作用量的所有参数都应是无量纲量。 即，标度不变理论就是没有任何固定尺度的理论。

对''D''维时空的标量场论，唯一的无量纲参数<math>g_n</math>满足<math>n=\frac{2D}{D-2}</math>。例如，''D''=4维时空中，只有<math>g_4</math>是经典无量纲的，因此''D''=4时空中唯一经典标度不变的标准标量场论是无质量的{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论。

不过，由于涉及[[重整化群]]，经典标度不变通常不意味着量子标度不变，详见下文贝塔函数的讨论。
====共形不变性====
变换
:<math>x\rightarrow \tilde{x}(x)</math>
若对某函数<math>\lambda(x)</math>，满足
:<math>\frac{\partial\tilde{x^\mu}}{\partial x^\rho}\frac{\partial\tilde{x^\nu}}{\partial
 x^\sigma}\eta_{\mu\nu}=\lambda^2(x)\eta_{\rho\sigma}</math>
则称作[[共形对称|共形]]的。

共形群包含度量<math>\eta_{\mu\nu}</math>的[[等距同构|等距]]子群（[[庞加莱群]]），以及上文提到的标度变换（或[[标度不变性]]）。事实上，前述标度不变理论也是共形不变的。

==={{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论===
{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论说明了标量场论中的许多有趣现象。拉格朗日密度为
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.</math>

====自发对称破缺====
{{See also|自发对称破缺}}
这拉格朗日量在变换<math>\varphi\to-\varphi</math>下有<math>\mathbb{Z}_2</math>对称性。这是内部对称性的一个例子，与时空对称性不同。

若<math>m^2</math>为正，势
:<math>V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4</math> 
在原点有单一极小值。解<math>\varphi=0</math>在<math>\mathbb{Z}_2</math>对称下显然是不变的。

反之，若<math>m^2</math>为负，则很容易看到势
:<math>\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!</math> 
有两个极小值。这就是所谓双阱势，这种理论中，最低能态（量子场论称作空穴）在<math>\mathbb{Z}_2</math>对称下并不是不变的（实际上会将两个空穴映射到对方）。这时，<math>\mathbb{Z}_2</math>对称发生[[自发对称破缺|自发破缺]]。

====扭状解====
具有负<math>m^2</math>的{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论也有扭状解（kink solution），是[[孤波]]的典型例子。这种解的形式为
:<math>\phi(\vec{x}, t) = \pm\frac{m}{2\sqrt{\frac{g}{4!}}}\tanh\left[\frac{m(x - x_0)}{\sqrt{2}}\right]</math>
其中''x''是空间变量之一（{{mvar|φ}}、''t''及其他空间变量彼此无关）。解在双阱势的两个不同空穴之间插值。若没有能量无穷大的解，就无法将扭变形为恒定解，因此扭状解也称作稳定解。对''D''>2（即具有多个空间维度的理论），这种解称作[[畴壁]]（domain wall）。

另一个具有扭状解的标量场论的著名例子是[[正弦-戈尔登方程]]理论。

===复标量场论===
在复标量场论中，标量场在复数中取值。复标量场表示自旋为零的粒子和带点和的反粒子。通常考虑的作用形式为
:<math>\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t
\mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi
-V(|\phi|^2)\right]</math>

具有[[圆群|U(1)]]对称性，等价于O(2)对称性，对场空间的作用是旋转<math>\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi</math>，相角{{mvar|α}}为实数。

而实标量场，若<math>m^2</math>为负，就会发生自发对称破缺。这产生了戈德斯通的[[自发对称破缺#墨西哥帽勢能|墨西哥帽势]]，是实标量场的双阱势绕<math>V(\phi) </math>轴旋转2π弧度。对称性破缺发生在更高维度，即空穴的选择，打破了连续的''U''(1)对称性，而非离散的。标量场的两分量被重构为大规模模型（massive mode）与无质量[[戈德斯通玻色子]]。

===''O''(''N'')理论===
{{main|sigma模型}}
可用两个实场表示复标量场论：<math>\varphi^1={\rm Re}\varphi,\ \varphi^2={\rm Im}\varphi</math>，在''U''(1) = ''O''(2)内部对称的向量表示下进行变换。虽然这些场在内部对称下转换为向量，但仍是洛伦兹标量。

这可以推广到在[[正交群|''O''(''N'')]]对称的向量表示下变换的N个标量场。''O''(''N'')不变的标量场论的拉格朗日量通常是以下形式的：
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\cdot\partial_\nu\phi -V(\phi\cdot\phi)</math>
[[内积]]需要是适当''O''(''N'')不变的。该理论也可用复向量场表示，即<math>\forall\phi\in\Complex^n</math>，这时对称群是[[李群]][[特殊酉群|SU(N)]]。

===规范场耦合===
标量场论以一种规范不变的方式与[[杨-米尔斯理论|杨-米尔斯作用]]耦合，就得到了超导的[[金兹堡-朗道方程]]。这理论的[[拓扑缺陷|拓扑孤子]]对应[[超导现象|超导体]]中的涡流；墨西哥帽势的极小值对应超导体的阶参数。

==量子标量场论==
{{main|正則量子化#场算符}}
本节的一般参考文献为Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. {{isbn|0-201-30450-3}}, Ch. 4

[[量子场论]]中，场与所有可观测量都表示为[[希尔伯特空间]]上的量子算子。这希尔伯特空间建立在[[真空态]]上，动力学受到量子[[哈密顿算符]]支配，是湮灭真空的正定算符。量子标量场的构造详见[[正则量子化]]条目，依赖于场之间的正则对易关系。根本上，在标量场中作为其（解耦）简正模组合成的经典谐振子现在以标准方式进行了量子化，于是相应的量子算符场描述了作用于相应[[福克空间]]的[[量子谐振子]]。

总之，基本变量是量子场{{mvar|φ}}及其正则动量{{mvar|π}}。这两个算子值场都是[[自伴算子|厄米]]的。在空间点<math>\vec{X},\ \vec{y}</math>、时间相等时，其[[交換子#正則對易關係|正则对易关系]]为

:<math>\begin{align}
  \left[\phi\left(\vec{x}\right), \phi\left(\vec{y}\right)\right] =
    \left[\pi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= 0,\\
   \left[\phi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= i \delta\left(\vec{x} - \vec{y}\right),
\end{align}</math>

而自由[[哈密顿算符]]则与之相似，
:<math>H = \int d^3x \left[{1 \over 2}\pi^2 + {1 \over 2}(\nabla \phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2\right].</math>

空间[[傅立叶变换]]产生[[动量空间]]场
:<math>\begin{align}
  \widetilde{\phi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x}),\\
   \widetilde{\pi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x})
\end{align}</math>
解析为湮灭与创生算子
:<math>\begin{align}
           a(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) + i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),\\
   a^\dagger(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) - i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),
\end{align}</math>
其中<math>E = \sqrt{k^2 + m^2}</math>。

算子满足对易关系
:<math>\begin{align}
  \left[a(\vec{k}_1), a(\vec{k}_2)\right] =
    \left[a^\dagger(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= 0,\\
            \left[a(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= (2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1 - \vec{k}_2).
\end{align}</math>

被所有算子''a''湮灭的状态<math>| 0\rangle</math>称作裸真空，对真空施加<math>a^\dagger(\vec{k})</math>就会产生动量为<math>\vec{k}</math>的粒子。

将所有可能创生算子组合应用于真空，就能构建出相关的[[希尔伯特空间]]：这种构造称作[[福克空间]]。真空由哈密顿算符
:<math>H = \int {d^3k\over (2\pi)^3}\frac{1}{2} a^\dagger(\vec{k}) a(\vec{k})</math>
湮灭，其中[[零点能]]被[[正规序|Wick排序]]消除。（见[[正则量子化]]）

相互作用可由相互作用哈密顿量实现。对''φ''<sup>4</sup>理论，这相当于给哈密顿量添加Wick有序项<math>g:\ \varphi^4:/4!</math>，并对''x''积分。散射振幅可用[[相互作用绘景]]中的哈密顿量计算，是由[[戴森级数]]在[[微扰理论 (量子力学)|微扰理论]]中构建的，戴森级数给出了时间有序积或''n''粒子格林函数<math>\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle</math>。格林函数也可从求解[[施温格-戴森方程]]所构建的生成函数中获得。

{{see also|量子諧振子#耦合諧振子}}

===费曼路径积分===
[[费曼图]]展开也可从费曼[[路径积分表述]]中获得。<ref>本节的一般参考文献是{{cite book|last=Ramond|first=Pierre|title=Field Theory: A Modern Primer|publisher=Westview Press|location=USA|date=2001-12-21|isbn=0-201-30450-3|edition=Second}}</ref>{{mvar|φ}}多项式的[[路径排序#时间排序|时序]][[真空期望值]]，即''n''粒子格林函数，是对所有可能的场进行积分，并以无外场时的[[真空期望值]]归一化得到的：

:<math>\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\}|0\rangle =
  \frac
    {\int \mathcal{D}\phi \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}
    {\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}.
</math>

所有这些格林函数都可通过扩展生成函数中<math>J(x)\varphi(x)</math>的指数来获得：
:<math>
  Z[J] =
    \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right)} =
    Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} J(x_1) \cdots J(x_n) \langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle.
</math>

可用[[威克转动]]将时间变为虚数。将符号变为(++++)后，费曼积分即变为[[欧氏空间]]中的[[配分函数]]：
:<math>Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left[{1 \over 2}(\nabla\phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2 + {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right]}.</math>

通常，这适于定动量粒子的散射，这时[[傅立叶变换]]往往有用，可得
:<math>\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int {d^4p \over (2\pi)^4} \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{g \over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.</math>

其中<math>\delta(x)</math>是[[狄拉克δ函数]]。

评估这[[泛函积分]]的标准技巧是将其写成指数因子之积，即
:<math>\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-g/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].</math>
后两个指数因子可展开为幂级数，这种展开的组合可用[[四次相互作用]]的[[费曼图]]表示。

g = 0的积分可视作无穷多基本高斯积分之积：结果可用[[费曼图]]之和表示，计算时使用以下费曼法则：
* ''n''点欧氏格林函数中的每个场<math>\sim\varphi(p)</math>都由图中的一条外线（半边）表示，并与动量''p''相关联。
* 每个顶点用因子−''g''表示。
* 在给定阶<math>g^k</math>时，所有具有''n''条外线和''k''个顶点的图都是这样构造的：流入顶点的动量均为零。每条内线表示为传播子<math>1(q^2+m^2)</math>，其中''q''是流经线的动量。
* 任何无约束动量都对所有值积分。
* 结果除以对称性系数，即在不改变连通性的前提下，重排图的线与顶点的方式数。
* 不包括函“真空泡”的图，即无外线的联通子图。

最后一条规则考虑了除以<math>\sim Z[0]</math>的影响。闵氏空间的费曼法则与此类似，只是顶点用''−ig''表示，内线用传播子<math>i/(q^2-m^2+i\varepsilon)</math>表示，<math>\varepsilon</math>项代表使{闵氏空间高斯积分收敛的微小威克旋转。
===重整化===
{{main|Β函數_(物理學)|重整化群}}
费曼图中对无约束动量的积分（称为“环路积分”，loop integral）通常会发散。这一般用[[重整化]]处理，即在拉格朗日量中加入发散的相反项，从而使原拉格朗日量和反项构建的图收敛。<ref>See the previous reference, or for more detail, {{cite book|last1=Itzykson|first1=Zuber|last2=Zuber|first2=Jean-Bernard|title=Quantum Field Theory|publisher=Dover|date=2006-02-24|isbn=0-07-032071-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000itzy}}</ref>这过程中必须引入重整化标度， 耦合常数与质量都取决于它。

耦合常数''g''在标度<math>\lambda</math>上的依赖由[[Β函數_(物理學)|β函数]]<math>\beta(g)</math>编码，定义是
:<math>\beta(g) = \lambda\,\frac{\partial g}{\partial \lambda} ~.</math>

这种对能量标度的依赖称作“耦合参数的运行”，量子场论中这种系统标度依赖的理论由[[重整化群]]描述。

β函数通常用近似方法计算，最常见的是[[微扰理论 (量子力学)|微扰理论]]，即假定耦合常数很小。然后，便可以对耦合参数进行幂级数展开，并截去高阶项（也称为高[[费曼图|环]]贡献。与相应费曼图的环数有关）。

{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论的一环β函数（第一微扰贡献）是
:<math>\beta(g) = \frac{3}{16\pi^2}g^2 + O\left(g^3\right) ~.</math>

最低阶项前面的符号为正，表明耦合常数随着能量增加。这种行为在大规模耦合时若也存在，将表明在有限能量下存在[[朗道极点]]，是由[[量子平凡性]]引起的。然而，这问题只能以非微扰形式回答，因为涉及强耦合。

当由β函数计算得重整化耦合在紫外截止被移除后归零时，称相应的量子场论是平凡的。这样，[[传播子]]变成了自由粒子的，场不再相互作用。

Michael Aizenman证明，在时空维度''D'' ≥ 5的情形下，{{mvar|φ}}<sup>4</sup>相互作用理论是平凡的。<ref name="Aiz81">
{{cite journal
 |last=Aizenman|first=M. |author-link=Michael Aizenman
 |year=1981
 |title=Proof of the Triviality of ''ϕ{{su|b=d|p=4}}'' Field Theory and Some Mean-Field Features of Ising Models for ''d'' > 4
 |journal=[[Physical Review Letters]]
 |volume=47
 |issue=1 |pages=1–4 |doi=10.1103/PhysRevLett.47.1 |bibcode=1981PhRvL..47....1A
}}</ref>

对''D'' = 4，平凡性尚未得到严格证明，但晶格计算为此提供了有力证据。这一事实非常重要，因为[[量子平凡性]]可用于约束、甚至预测[[希格斯玻色子]]质量等量的参数。这也可以导致在渐进安全情形下的可预测希格斯玻色子质量。<ref name="TrivPurs">{{cite journal| author-link=David J E Callaway | first=D. J. E. |last=Callaway | year=1988
| title=Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist? | journal=[[Physics Reports]]
|volume=167 | issue=5 | pages=241–320 | doi=10.1016/0370-1573(88)90008-7
|bibcode = 1988PhR...167..241C }}</ref>

==另见==
*[[重整化]]
*[[量子平凡性]]
*[[标量电动力学]]

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|last1=Peskin|first1=M.|last2=Schroeder|first2=D.|authorlink1=Michael Peskin|title=An Introduction to Quantum Field Theory|publisher=Westview Press|year=1995|isbn=978-0201503975|url=https://books.google.com/books?id=EVeNNcslvX0C}}
* {{cite book|last=Weinberg|first=S.|author-link=Steven Weinberg|title=The Quantum Theory of Fields|publisher=Cambridge University Press|year=1995|volume=I|isbn=0-521-55001-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev}}
* {{cite book|last=Weinberg|first=S.|title=The Quantum Theory of Fields|publisher=Cambridge University Press|year=1998|volume=II|isbn=0-521-55002-5|url-access=registration|url=https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev}}
* {{cite book|last=Srednicki|first=M.|title=Quantum Field Theory|publisher=Cambridge University Press|year=2007|isbn=9780521864497}}
* {{cite book|last=Zinn-Justin|first=J|author-link=Jean Zinn-Justin|title=Quantum Field Theory and Critical Phenomena|publisher=Oxford University Press|year=2002|isbn=978-0198509233}}

==外部链接==
*[http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/basisqft.pdf The Conceptual Basis of Quantum Field Theory] {{Wayback|url=http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/basisqft.pdf |date=20051208025047 }}  Click on the link for Chap. 3 to find an extensive, simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory.

[[Category:量子场论]]
[[Category:数学物理]]
[[Category:理论物理]]