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[[数学]]中，'''标架丛'''（{{lang|en|Frame bundle}}）是一个与任何[[向量丛]] ''E'' [[相伴丛|相伴]]的[[主丛]]。F(''E'') 在一点 ''x'' 的纤维是 ''E''<sub>''x''</sub> 的所有[[有序基]]或曰标架。[[一般线性群]]通过[[基变更]]自然作用在 F(''E'') 上，给出标架丛一个主 GL<sub>''k''</sub>('''R''')-丛结构，这里 ''k'' 是 ''E'' 的秩。

一个光滑流形的标架丛是与其[[切丛]]相伴的丛。因此它有经常称为'''切标架丛'''（{{lang|en|tangent frame bundle}}）。

==定义与构造==

设 ''E'' → ''X'' 是[[拓扑空间]] ''X'' 上一个 ''k'' 阶实[[向量丛]]。在点 ''x'' ∈ ''X'' 的一个'''标架'''是向量空间 ''E''<sub>''x''</sub> 的一个[[有序基]]。等价地，一个标架可以视为[[线性同构]]
:<math>p : \mathbb R^k \to E_x.</math>
在 ''x'' 的所有标架集合，记作 ''F''<sub>''x''</sub>，所有可逆 ''k''&times;''k'' 矩阵组成的[[一般线性群]] GL<sub>''k''</sub>('''R''') 在它上面有一个自然[[群作用|右作用]]：一个群元素 ''g'' ∈ GL<sub>''k''</sub>('''R''') 通过[[函数复合|复合]]作用在 ''p'' 的标架上给出一个新标架
:<math>p\circ g:\mathbb R^k\to E_x.</math>
GL<sub>''k''</sub>('''R''') 在 ''F''<sub>''x''</sub> 上这个作用是[[自由作用|自由]][[传递作用|传递]]的（这是标准线性代数结论：存在惟一可逆线性变换将一个基变为另一个）。作为一个拓扑空间 ''F''<sub>''x''</sub> [[同胚]]于 GL<sub>''k''</sub>('''R''')，但它没有群结构，因为没有“优先的标架”。空间 ''F''<sub>''x''</sub> 称为一个 GL<sub>''k''</sub>('''R''')-[[torsor]]。

''E'' 的'''标架丛'''，记作 F(''E'') 或 F<sub>GL</sub>(''E'')，是所有 ''F''<sub>''x''</sub> 的不交并：
:<math>\mathrm F(E) = \coprod_{x\in X}F_x.</math>
F(''E'') 中每个点是一个二元组 (''x'', ''p'')，其中 ''x'' 是 ''X'' 中一点而 ''p'' 是 ''x'' 处一个标架。存在自然投影 ''π'' : F(''E'') → ''X'' 将 (''x'', ''p'') 送到 ''x''。群 GL<sub>''k''</sub>('''R''') 如上右作用在 F(''E'') 上。这个作用显然是自由的且[[轨道 (群论)|轨道]]恰是 ''π'' 的纤维。

标架丛 F(''E'') 可给一个自然的拓扑，其丛结构由 ''E'' 确定。设 (''U''<sub>''i''</sub>, ''φ''<sub>''i''</sub>) 是 ''E'' 的一个[[局部平凡化]]。则对每个 ''x'' ∈ ''U''<sub>''i''</sub> 有一个线性同构 ''φ''<sub>''i'',''x''</sub> : ''E''<sub>''x''</sub> → '''R'''<sup>''k''</sup>。这个数据决定了一个双射
:<math>\psi_i : \pi^{-1}(U_i)\to U_i\times \mathrm{GL}_k(\mathbb R),\,</math>
由下式给出
:<math>\psi_i(x,p) = (x,\varphi_{i,x}\circ p).</math>
有了这个双射后，每个 ''π''<sup>&minus;1</sup>(''U''<sub>''i''</sub>) 可赋予 ''U''<sub>''i''</sub> &times; GL<sub>''k''</sub>('''R''') 的拓扑。则 F(''E'') 上的拓扑是由包含映射 ''π''<sup>&minus;1</sup>(''U''<sub>''i''</sub>) → F(''E'') 余诱导的[[最终拓扑]]。

有了上面所有数据后，标架丛 F(''E'') 成为 ''X'' 上一个[[结构群]]为 GL<sub>''k''</sub>('''R''') 的[[主纤维丛]]，具有局部平凡化 ({''U''<sub>''i''</sub>}, {''ψ''<sub>''i''</sub>})，可以验证 F(''E'') 的[[转移函数]]与 ''E'' 的相同。

上面所有工作对光滑范畴也成立：如果 ''E'' 是光滑流形 ''M'' 上一个光滑向量丛，则 ''E'' 的标架丛可赋予 ''M'' 上光滑主丛结构。

==相伴向量丛==

向量丛 ''E'' 与它的标架丛 F(''E'') 是[[相伴丛]]。每一个决定了另一个。标架丛 F(''E'') 可如上由 ''E'' 构造出来，或更抽象地利用{{le|纤维丛构造定理|Fiber bundle construction theorem}}。在后一个方法中，F(''E'') 与 ''E'' 有同样底、平凡化邻域以及转移函数，但有抽象纤维 GL<sub>''k''</sub>('''R''')，这里结构群 GL<sub>''k''</sub>('''R''') 作用在纤维 GL<sub>''k''</sub>('''R''') 上是左乘。

给定一个[[线性表示]] ''ρ'' : GL<sub>''k''</sub>('''R''') → ''V''，有一个向量丛相伴与 F(''E'')
:<math>\mathrm F(E)\times_{\rho}V,\,</math>
它由乘积 F(''E'') &times; ''V'' 模去[[等价关系]] (''pg'',''v'') ~ (''p'',''ρ''(''g'')''v'')，对所有 ''g'' 属于 GL<sub>''k''</sub>('''R''')，给出。记等价类为 [''p'',''v'']。

向量丛 ''E'' [[自然同构]]于丛 F(''E'') &times;<sub>''ρ''</sub> '''R'''<sup>''k''</sup>，这里 ''ρ'' 是  GL<sub>''k''</sub>('''R''') 在 '''R'''<sup>''k''</sup> 上的基本表示。同构由
:<math>[p,v]\mapsto p(v)</math>
给出，这里 ''v'' 是 '''R'''<sup>''k''</sup> 中一个向量而 ''p'' : '''R'''<sup>''k''</sup> → ''E''<sub>''x''</sub> 是 ''x'' 处一个标架。容易验证这个映射是[[良定义]]的。

任何相伴与 ''E'' 的向量丛可由如上构造给出。例如，''E'' 的[[对偶丛]]由 F(''E'') &times;<sub>''ρ''*</sub> ('''R'''<sup>''k''</sup>)* 给出，这里 ''ρ''* 是基本表示的[[对偶表示|对偶]]。''E'' 的[[张量丛]]可类似地构造。

==切标架丛==

一个[[光滑流形]] ''M'' 的'''切标架丛'''（或简称'''标架丛'''）是与 ''M'' 的[[切丛]]相伴的标架丛。 ''M'' 的标架丛通常记作 F''M'' 或 GL(''M'') 而不是 F(''TM'')。如果 ''M'' 是 ''n''-维的则切丛的秩为 ''n''，所以 ''M'' 的标架丛是 ''M'' 上一个主 GL<sub>''n''</sub>('''R''') 丛。

===光滑标架===

''M'' 的标架丛的[[截面 (纤维丛)|局部截面]]称为 ''M'' 上的[[光滑标架]]。主丛横截定理说 ''M'' 中任何有光滑标架的开集 ''U'' 上标架丛是平凡的。给定一个光滑标架 ''s'' : ''U'' → F''U''，平凡化 ''ψ'' : F''U'' → ''U'' &times; GL<sub>''n''</sub>('''R''') 由
:<math>\psi(p) = (x, s(x)^{-1}\circ p)</math>
给出，这里 ''p'' 是 ''x'' 处一个标架。从而一个流形是[[可平行化流形|可平行化]]的当且仅当 ''M'' 的标架丛有一个整体截面。

因为 ''M'' 的切丛在 ''M'' 的任何坐标邻域是可平凡化的，故标架丛也是。事实上，给定任何坐标邻域 ''U'' 带有坐标 (''x''<sup>1</sup>,…,''x''<sup>''n''</sup>)，坐标向量场
:<math>\left(\frac{\partial}{\partial x^1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x^n}\right)</math>
定义了 ''U'' 上一个光滑标架。在标架丛上工作的一个好处是它们允许我们处理标架而不是坐标架；我们可选取对手中问题合适的标架。这有时称为[[活动标架法]]。

===焊接形式===

流形 ''M'' 的标架丛是一类特殊的主丛，它的几何本质上系于 ''M'' 的几何。这种关系可用 F''M'' 上一个称之为'''[[焊接形式]]'''（或称'''基本'''或'''重言''' 1-形式）[[向量值微分形式|向量值 1-形式]]表示。设 ''x'' 是流形 ''M'' 上一点，''p'' 是 ''x'' 处一个标架，故
:<math>p : \mathbb{R}^n\to T_xM</math>
是 '''R'''<sup>''n''</sup> 与 ''M'' 在 ''x'' 处切丛的一个线性同构。F''M'' 的焊接形式是一个 '''R'''<sup>''n''</sup>-值 1-形式 ''θ''，定义为
:<math>\theta_p(\xi) = p^{-1}\mathrm d\pi(\xi)\,</math>
这里 ''ξ'' 与 F''M'' 相切于 (''x'',''p'')，''p''<sup>-1</sup>:T<sub>''x''</sub>''M''&nbsp;→&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> 是标架映射的逆，d''π'' 是投影映射 ''π'': F''M'' → ''M'' 的[[前推 (微分)|微分]]。焊接形式是水平的，它在与 ''π'' 的纤维相切的向量上为零，以及[[等变|右等变]]，即
:<math>R_g^*\theta = g^{-1}\theta\,</math>
这里 ''R''<sub>''g''</sub> 是由 ''g'' ∈ GL<sub>''n''</sub>('''R''') 的左平移。F''M'' 上这样性质的形式称为基本或[[张量性形式]]。这样的形式与 ''TM''-值 1-形式一一对应，从而与 ''M'' 上光滑[[丛映射]] ''TM'' → ''TM'' 一一对应。这样看来，''θ'' 恰好是 ''TM'' 上[[恒等映射]]。

==标准正交标架丛==

如果向量丛 ''E'' 配有一个[[黎曼丛度量]]，则每个纤维 ''E''<sub>''x''</sub> 不仅是一个向量空间而且是一个[[内积空间]]。这样便可以讨论 ''E''<sub>''x''</sub> 的所有[[标准正交标架]]集合。''E''<sub>''x''</sub> 的一个标准正交标架是 ''E''<sub>''x''</sub> 的一个有序[[标准正交基]]，或等价地，一个等距[[线性同构]]
:<math>p:\mathbb R^k \to E_x</math>
这里 '''R'''<sup>''k''</sup> 配有标准[[欧几里得度量]]。[[正交群]] O(''k'') 通过右复合自由传递作用在所有标准正交标架上。换句话说，所有标准正交标架集合是一个右 O(''k'')-[[torsor]]。

''E'' 的'''标准正交标架丛'''，记作 F<sub>O</sub>(''E'')，是在底空间 ''X'' 上每一点 ''x'' 处的所有标准正交标架集合。它可用完全类似于通常标架丛的方法构造出来。秩 ''k'' 的黎曼向量丛 ''E'' → ''X'' 的标准正交标架是 ''X'' 上一个主 O(''k'')-丛。同样，此构造在光滑范畴一样成立。

如果向量丛 ''E'' [[可定向性|可定向]]，则我们可定义 ''E'' 的'''定向标准正交标架丛'''，记作 F<sub>SO</sub>(''E'')，是所有正定向标准正交标架丛，这是一个主 SO(''k'')-丛。

如果 ''M'' 是一个 ''n''-维[[黎曼流形]]，则 ''M'' 的标准正交标架丛，记作 F<sub>O</sub>''M'' 或 O(''M'')，是与 ''M'' 的切丛（由定义它配有一个黎曼度量）相伴的标准正交标架丛。如果 ''M'' 可定向，则也有定向标准正交标架丛 F<sub>SO</sub>''M''。

给定一个黎曼向量丛 ''E''，标准正交标架丛是一般线性标架丛的 O(''k'')-[[子丛]]。换句话说，包含映射
:<math>i:{\mathrm F}_{\mathrm O}(E) \to {\mathrm F}_{\mathrm{GL}}(E)\,</math>
是一个主[[丛映射]]。我们说 F<sub>O</sub>(''E'') 是 F<sub>GL</sub>(''E'') 的结构群从 GL<sub>''k''</sub>('''R''') 到 O(''k'') 的[[结构群的约化|约化]]。

==''G''-结构==
{{see also|G-结构}}

如果光滑流形 ''M'' 有额外的结构，通常自然地考虑 ''M'' 全标架丛的一个适应于给定结构的子丛。例如，如果 ''M'' 是一个黎曼流形，我们从上面看到自然地去考虑 ''M'' 的标准正交标架丛。标准正交标架丛只不过是 
F<sub>GL</sub>(''M'') 的结构群到正交群 O(''n'') 的约化。

一般地，如果 ''M'' 是一个光滑 ''n''-流形，''G'' 是 GL<sub>''n''</sub>('''R''') 的一个[[子李群]]，我们定义 ''M'' 上一个 '''[[G-结构]]'''为 F<sub>GL</sub>(''M'') 结构群到 ''G'' 的一个约化。具体地说，这是 ''M'' 上一个主 ''G''-丛 F<sub>''G''</sub>(''M'')，以及 ''M'' 上一个 ''G''-等变[[丛映射]]
:<math>{\mathrm F}_{G}(M) \to {\mathrm F}_{\mathrm{GL}}(M).\,</math>

在这种语言中，''M'' 上一个黎曼度量给出 ''M'' 上一个 O(''n'')-结构。下面是其它一些例子。

*每个[[可定向性|定向流形]]有一个定向标架，这就是 ''M'' 上一个 GL<sub>''n''</sub><sup>+</sup>('''R''')-结构。
*''M'' 上一个[[体积形式]]确定了 ''M'' 上一个 SL<sub>''n''</sub>('''R''')-结构。
*一个 2''n''-维[[辛流形]]有一个自然的 Sp<sub>2''n''</sub>('''R''')-结构。
*一个 2''n''-维[[复流形|复]]或[[殆复流形]]有一个自然的 GL<sub>''n''</sub>('''C''')-结构。
在某些例子中，''M'' 上一个 ''G''-结构惟一确定了 ''M'' 上对应的结构。例如 ''M'' 上一个 SL<sub>''n''</sub>('''R''')-结构确定了 ''M'' 上一个体积形式。但是，在某些情形，比如辛与复流形，需要一个[[可积性条件]]。''M'' 上一个 Sp<sub>2''n''</sub>('''R''')-结构惟一确定了 ''M'' 上一个[[非退化形式|非退化]] [[2-形式]]，但对 ''M'' 是辛的，这个 2-形式必须也是[[闭微分形式|闭]]的。

==参考文献==
* {{citation | last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|last2=Nomizu|first2=Katsumi | title = Foundations of Differential Geometry|volume=Vol. 1| publisher=Wiley-Interscience | year=1996|edition=New|isbn=0471157333}}
* {{citation|last1=Kolář|first1=Ivan|last2=Michor|first2=Peter|last3=Slovák|first3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|format=PDF|title=Natural operators in differential geometry|year=1993|publisher=Springer-Verlag|access-date=2009-06-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20170330154524/http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|archive-date=2017-03-30|dead-url=yes}}
*{{cite book | last = Sternberg | first = S. | year = 1983 | title = Lectures on Differential Geometry | url = https://archive.org/details/lecturesondiffer0000ster_a2c2 | edition = (2nd ed.) | publisher = Chelsea Publishing Co. | location = New York | isbn = 0-8218-1385-4}}

[[Category:纤维丛]]
[[Category:向量丛]]