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{{NoteTA
|G1=Math
}}
{{Not|标准差}}
[[File:standard deviation diagram.svg|325px|thumb|图示为服从无偏性正态分布的标准误]]
'''标准误差'''（{{lang-en|standard error}}），也称'''标准误'''，即[[样本]]平均數[[抽樣分佈]]的[[标准差]]（{{lang|en|standard deviation}}），是描述对应的样本平均數抽样分布的[[离散程度]]及衡量对应样本平均數抽样[[误差]]大小的尺度<ref>Everitt, B.S. (2003) ''The Cambridge Dictionary of Statistics'', CUP. ISBN 0-521-81099-X</ref>。

== 概述 ==
标准误差针对样本统计量而言，是某个样本统计量的标准差。当谈及标准误差时，一般须指明对应的样本统计量才有意义。以下以样本均值（样本均值是一种样本统计量）作为例子：

例如， [[样本]][[平均数|均值]]是[[总体均值]]的[[无偏估计]]。但是，来自同一总量的不同样本可能有不同的均值。

于是，假设可以从总体中随机选取无限的大小相同的样本，那每个样本都可以有一个样本均值。依此法可以得到一个由无限多样本均值组成的总体，该总体的标准差即为标准误差。

在很多实际应用中，标准差的真正值通常是未知的。因此，标准误这个术语通常运用于代表这一未知量的估计。在这些情况下，需要清楚业已完成的和尝试去解决的标准误差仅仅可能是一个估量。然而，这通行上不太可能：人们可能往往采取更好的估量方法，而避免使用标准误，例如采用[[最大似然]]或更形式化的方法去测定[[信賴區間]]。第一个众所周知的方法是在适当条件下可以采用[[学生t-分布]]为一个估量平均值提供[[置信区间]]。在其他情况下，标准差可以有效地利用于提供一个不确定性空间的示值，但其正式或半正式使用是提供置信区间或测试，并要求样本总量必须足够大。其总量大小取决于具体的数量分析<ref>{{cite journal
  | first = L.
  | last = Isserlis
  | year = 1918
  | title = On the value of a mean as calculated from a sample
  | journal = Journal of the Royal Statistical Society
  | volume = 81
  | issue = 1
  | pages = 75–81
  | url = http://www.jstor.org/stable/2340569
  | access-date = 2010-03-28
  | archive-date = 2021-03-08
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20210308122934/https://www.jstor.org/stable/2340569
  | dead-url = no
  }}</ref>。

== 平均值标准误差 ==
｢样本均值的估計标准误差｣，簡稱'''平均值标准误差'''（{{lang|en|standard error of the mean, SEM}}），或'''平均数标准误差'''。必須記得在簡稱的背後總是意指｢樣本的｣。

如果已知[[总體]]的[[標準差]](σ)，那麼抽取無限多份大小為 n 的樣本，每個樣本各有一個平均值，所有這個大小的樣本之平均值的標準差可證明為（注意！不是''一份樣本裡觀察值''的標準差（那是下面公式裡的<math>s</math>））：

:<math>SD_\bar{x}\ = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>

但由於通常σ為未知，此時可以用研究中取得樣本的標準差 (s) 來估計<math>SD_\bar{x}</math>：

:<math>SE_\bar{x}\ = \frac{s}{\sqrt{n}}</math>

其中，s为样本的[[标准差]]，n为样本数量（大小）。

名詞比較：
:<math>SD_\bar{x}</math>：樣本平均值的標準｢差｣ (standard ''deviation'' of sample mean)
:<math>s</math>　：｢樣本的｣標準差 (standard deviation of sample)
:<math>SE_\bar{x}</math>：樣本平均值的標準｢誤｣ (standard ''error'' of sample mean)。


注意：
# 标准误差也可定义为[[残差]]的[[标准差]]<ref>Kenney, J. and Keeping, E.S. (1963) ''Mathematics of Statistics'', van Nostrand,  p. 187</ref><ref>Zwillinger D. (1995), ''Standard Mathematical Tables and Formulae'', Chapman&Hall/CRC. ISBN 0-8493-2479-3  p. 626</ref>。
# 无论是标准误差还是小型样本的标准差，都往往低估了母体的标准误差和标准差：平均数的标准误差是总量标准误差的一个有偏估计量。当样本总量 n = 2 时，低估率大概为25% ；但 n = 6 时，低估率只有5%。基于此，古尔兰（{{lang|en|Gurland}}）和特里帕蒂（{{lang|en|Tripathi}}）对此公式作了改进努力<ref>{{cite journal |last=Gurland |first=J |coauthors=Tripathi RC |year=1971 |title=A simple approximation for unbiased estimation of the standard deviation |url=https://archive.org/details/sim_american-statistician_1971-10_25_4/page/30 |journal=American Statistician |volume=25 |issue=4|pages=30–32 }}</ref>。

== 假设与运用 ==
如果数据集服从[[正态分布]]，其正态分布函数的[[分位数]]、[[样本]][[平均数]]和[[标准差]]都可以用来计算合适的平均数信賴區間。

以下公式表示在大于或小于95%的置信区间中，<math>\bar{x}</math> 等于样本平均数时，S 等于样本平均数的[[标准差]]，1.96 则为服从正态分布的第 0.975[[百分位数]]值。
: 95% 置信区间的上限 = <math>\bar{x} </math>＋ (S ×1.96) ,
: 95% 置信区间的下限 = <math>\bar{x} </math>－ (S ×1.96) .

特殊情况下，样本统计（比如样本平均数）的标准误是一个有偏誤的估计标准。换句话说，标准误是一个样本统计的样本分布的标准差。这一标准误的符号可以是任何<math>SE</math>、<math>SEM</math>、<math>S_E</math>之一。

标准误提供一系列在证明数值不确定性的简单方法，并通常用于：
* 如果一些个体数量的标准误是已知的，那么在一些情况下，一些方程的百分位数的标准误可以被容易运算出来；
* 当概率分布的数值已知，标准误可以用来推算精确的置信区间，并且；
* 当概率分布的数值未知，其他[[切比雪夫不等式]]等可以用来推算一个保守的置信区间。
* 只要样本总量倾向於无穷大，[[中心极限定理]]可以保证其样本分布渐进地倾向于[[正态分布]]。

== 有限总体校正 ==
鉴于对上述标准误差的公式，假设样本量远小于总量规模，所以总量可以被视为足够大。当取样比例较大（大约为5%或以上）时，对标准误的估计必须用“有限总体校正”（{{lang|en|finite population correction}}）<ref>{{harvtxt|Isserlis|1981|loc=equation (1)}}</ref>：
: 

{| class="wikitable"
|-
! FPC(<math>C_n^N</math>) !! FPC(<math>H_n^N</math>)
|-
| 樣本元素為不可重復組合 || 樣本元素為可重復組合
|-
| 所有可能樣本的數目 = <math>C_n^N</math> || 所有可能樣本的數目 = [[組合#重複組合理論與公式|<math>H_n^N</math>]]
|-
| <math>FPC(C_n^N)=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}</math> ||<math>FPC(H_n^N)=\sqrt{\frac{N+n}{N+1}}</math>
|}

该公式以考虑到增加所获得的采样精度，以接近的人口较大比例。有限总体校正的意义在于：如果样本大小 n 等于总量大小 N 时，有限总体校正数值为零。

== 样本相关性校正 ==
[[File:SampleBiasCoefficient.png|thumb|300px|right|一个样本中的预期误差与样本误差系数关系，其无误差的标准误，即 ρ=0，函数为图中红色直线，系数为-½]]

如果实测量 A 的数值不具有统计意义上的独立性，但是其仍然可以从已知的参数空间 x 中获取。那么一个误差的无偏估计可以通过以下方程获得：

: <math>  \text{f}= \sqrt{\frac{1+(n-1) \rho}{1-\rho}}</math>

其中，样本偏差系数 ρ 为自相关系数 ρ<sub>ij</sub> （-1到1之间的数量）的平均值。

== 相对标准误差 ==

[[相对标准误差]]（{{lang|en|Relative Standard Error}}）仅仅是标准误除以平均值的一种百分比表述。例如，制作两份家庭收入调查，其平均值为50000美元。如果一个调查的标准误有10000美元，而另一个则为5000美元，其相对标准误差分别为20%和10%。直观地说，拥有较低标准误差的调查看起来更为可靠。事实上，由于制作数据机构通常预设可信度标准，以使得其统计数据必须满足此前公布的内容。譬如，美国国家卫生统计中心通常不会报告其数据相对标准误差超过30%的估计。

== 相关条目 ==
* [[方差]]和[[标准差]]
* [[样本均值]]和[[样本方差]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{Statistics}}

[[Category:统计偏差和离散度]]