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[[线性代数]]中，'''柯西-比内公式'''（{{lang|en|Cauchy–Binet formula}}）将行列式的可乘性（两个[[方块矩阵]]的行列式等于两个行列式的乘积）推广到非方块矩阵。

假设 ''A'' 是一个 ''m''&times;''n'' 矩阵，而 ''B'' 是一个 ''n''&times;''m'' 矩阵。如果 ''S'' 是 { 1, ..., ''n'' } 中具有 ''m'' 个元素的子集，我们记 ''A''<sub>''S''</sub> 为 ''A'' 中列指标位于 ''S'' 中的 ''m''&times;''m'' 子矩阵。类似地，记 ''B''<sub>''S''</sub> 为 ''B'' 中行指标位于 ''S'' 中的 ''m''&times; ''m'' 子矩阵。柯西-比内公式说

:<math>\det(AB) = \sum_S \det(A_S)\det(B_S)\,</math>

这里求遍 { 1, ..., ''n'' } 中 ''m'' 个元素的所有可能子集 ''S''（共有 [[二项式系数|C(''n'',''m'')]] 个）。

如果 ''m'' = ''n''，即 ''A'' 与 ''B'' 是同样大小的方块矩阵，则只有一个容许[[集合 (数学)|集合]] ''S''，柯西-比内公式退化为通常行列式的可乘性。如果 ''m'' = 1 则有 ''n'' 容许集合 ''S''，这个公式退化为[[点积]]。如果 ''m'' > ''n''，没有容许集合 ''S''，行列式 det(''AB'') 是零（参见[[空和]]（empty sum））。

这个公式对矩阵元素取值于任何[[交换环]]都成立。证明可将 ''AB'' 的列写成系数来自 ''B'' 的 ''A'' 的列的线性组合，利用行列式的可乘性，将属于一个 det(''A''<sub>''S''</sub>) 的项收集起来，并利用行列式的反对称性。利用行列式的莱布尼兹公式，得出 det(''A''<sub>''S''</sub>) 的系数是 det(''B''<sub>''S''</sub>)。这个证明没有利用行列式的可乘性，相反这个证明建立了它。

如果 ''A'' 是一个实 ''m''&times;''n'' 矩阵，则 det(''A'' ''A''<sup>T</sup>) 等于由 ''A'' 中行向量在 '''R'''<sup>''n''</sup> 中张成的[[平行多面体]] ''m''-维体积的平方。柯西-比内公式说这等于该平行多面体在所有 ''m''-维坐标平面（共有 C(''n'',''m'') 个）的正交投影的平行多面体的 ''m''-维体积的平方之总和。''m''=1 的情形是关于一条线段的长度，这恰是[[毕达哥拉斯定理]]。

柯西-比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的[[子式]]的一个一般公式。该公式在[[子式]]一文给出。

;例
:如果 <math>A = \begin{bmatrix}1&1&2\\
3& 1& -1\\
\end{bmatrix}</math> 与 <math>B = \begin{bmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{bmatrix}</math> 则柯西-比内公式给出行列式：

:<math>
\det(AB)=
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}\right|
=-28.
</math>

==外部链接==
*[http://www.lacim.uqam.ca/~lauve/courses/su2005-550/BS3.pdf 柯西-比内公式的简单组合证明] {{Wayback|url=http://www.lacim.uqam.ca/~lauve/courses/su2005-550/BS3.pdf |date=20190304135718 }}

[[Category:奥古斯丁-路易·柯西]]
[[Category:行列式]]
[[Category:数学公式]]