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'''柯西问题'''（{{lang-en|Cauchy problem}}）在数学中是指，在一区域内的[[超曲面]]上给定特定初始条件的情况下求[[偏微分方程]]的解。柯西问题由[[初值问题]]推广而来，与[[边值问题]]相对。该问题以法国数学家[[奥古斯丁·路易·柯西]]的名字命名。

假定偏微分方程定义在'''R'''<sup>''n''</sup>上，有一(''n''-1)维的[[光滑流形]]''S'' ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup>（''S''称为[[柯西曲面]]）。那么柯西问题是指求偏微分方程的解''u''，满足

:<math> \begin{align}
u(x) &= f_0(x) \qquad && \text{for all } x\in S; \\
\frac{\partial^k u(x)}{\partial n^k} &= f_k(x) \qquad && \text{for } k=1,\ldots,\kappa-1 \text{ and all } x\in S,
\end{align} </math>

其中<math>f_k</math>是曲面''S''上的给定函数（合称为该问题的柯西数据），''n''是''S''的[[法向量]]，κ则表示微分方程的阶数。

[[柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理]]表明柯西问题在某些特定条件下有唯一解，其中最重要的条件是柯西数据与偏微分方程的系数为[[实解析函数]]。

== 参考文献 ==
*{{citation|title=Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations|first=Jacques|last=Hadamard|year=2003|origyear=1923|isbn=0-486-49549-3|series=Dover Phoenix editions|url=http://books.google.com/books?id=B25O-x21uqkC|mr=0051411|jfm=49.0725.04|publisher=Dover Publications|place=New York|accessdate=2012-07-05|archive-date=2014-07-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20140704120546/http://books.google.com/books?id=B25O-x21uqkC|dead-url=no}}

== 外部链接 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/CauchyProblem.html Cauchy problem] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CauchyProblem.html |date=20130602210957 }}（[[MathWorld]]）

[[Category:奥古斯丁-路易·柯西]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:数学问题]]

[[de:Anfangswertproblem#Partielle_Differentialgleichungen]]