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|G1=Math}}
{{Distinguish|柯西积分定理|重复积分的柯西公式}}
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'''柯西积分公式'''是[[数学]]中[[複分析|复分析]]的一个重要结论，以十九世纪法国数学家[[奥古斯丁·路易·柯西]]命名。柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的[[全纯函数]]在区域[[内部]]的值完全取决于它在区域边界上的值，并且给出了区域内每一点的任意阶[[导数]]的积分计算方式。柯西积分公式是复分析中全纯函数“微分等同于积分”特性的表现。而在[[实分析]]中这样的结果是完全不可能达到的。

这个公式是柯西在1831年证明的。柯西在同年10月11日首次将其发表，并将它写入了1841年发表的《分析与数学物理习题集》（{{lang|fr|''Exercices d'analyse et de physique mathématique''}}）一书中。<ref>{{cite book|author=Reinhold Remmert|title=''Theory of Complex Functions''|url=https://archive.org/details/theoryofcomplexf0000remm|year=1991|publisher=Springer (GTM122)|language=en|isbn=9780387971957}}</ref>{{rp|204}}

== 定理 ==
设<math>\Omega</math>是[[复平面]]<math>\mathbb{C}</math>的一个[[单连通]]的[[拓扑空间|开子集]]。<math>f \; : \; \; \Omega \; \rightarrow \mathbb{C}</math>是一个<math>\Omega</math>上的全纯函数。设<math>\gamma</math>是<math>\Omega</math>内的一个简单闭合的可求长曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么函数<math>f</math>在<math>\gamma</math>内部的点<math>a</math>上的值是：
:<math>f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz. </math>

其中的积分为沿着<math>\gamma</math>逆时针方向的积分。<ref name="sdj">{{cite book|author=S.D. Joglekar|title=''Mathematical Physics: The Basics''|year=2005|publisher=Universities Press|language=en|isbn=9788173714221}}</ref>{{rp|167}} 

以上公式说明，全纯函数必然是无穷次可导的。这是因为假设以上的公式对函数<math>f</math>的''n''阶导数成立：
:<math>f^{(n)}(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f^{(n)}(z) \over z-a}\, dz. </math>
对上式等号右侧的积分进行''n''次[[分部积分法|分部积分变换]]就可得到对''n''阶导数的柯西积分公式：
:<math>f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over (z-a)^{n+1}}\, dz. </math>
有时也称作'''柯西微分公式'''。右端是一个复可微的函数。这说明<math>f</math>的''n''阶导数仍然是复可微的。所以依据[[数学归纳法]]可知<math>f</math>是无穷次可导的，并且柯西微分公式对任意阶的导数都成立。

如果函数<math>f</math>仅在<math>\gamma</math>内部是全纯函数，在边界<math>\gamma</math>上仅仅是连续函数，那么只有函数<math>f</math>的柯西积分公式成立，而微分公式不一定成立。<ref name="sdj"/>{{rp|167}}

==证明==
[[File:CauchyIntegralFormula.png|thumb|right|320px]]
选定以<math>a</math>为圆心，在<math>\gamma</math>内部的一个圆盘<math>D_0 = \{ z ; \; |z - a| \leqslant r\}</math>，它的边界是[[圆]]<math>C_0 = \{ z ; \; |z - a| = r\}</math>。函数<math>\frac{f}{z-a}</math>在闭合区域<math>D \setminus D_0</math>上是全纯函数，所以根据柯西积分定理，它在边界上的积分等于0：
:<math>{1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz + {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^-} {f(z) \over z-a}\, dz = 0.</math>
其中<math>C_0^-</math>的标记表示沿“内边界”<math>C_0</math>的积分是顺时针方向。所以将这个积分改为沿逆时针方向<math>C_0^+</math>後，就能得到：
:<math>{1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz = {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a} \, dz .</math>
这个等式与圆盘<math>D_0</math>的半径<math>r</math>无关，也就是说无论圆盘多麼小，这个等式都成立。注意到当半径<math>r</math>趋于0的时候，函数<math>f</math>在圆<math>C_0</math>上的值基本上等于<math>f(a)</math>。所以
:<math>
\begin{align}
\left| \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a}\, dz -  2\pi i f(a) \right| &= \left| \oint_{C_0^+} {f(z) - f(a) \over z-a}\, dz \right| \\
&= \left| \int_{0}^{2\pi} {f(a + r\cdot e^{it}) - f(a) \over a+ r\cdot e^{it} - a} r i \cdot e^{it}\, dt \right| \qquad (z = a + r\cdot e^{it}) \\
&= \left| \int_{0}^{2\pi} \left[ f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right]  i \, dt \right| \\
&\leqslant \int_{0}^{2\pi} \left| f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right| \, dt \\
&\leqslant 2\pi \max_{0 \leqslant t < 2\pi } \left| f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right| \xrightarrow[r\to 0]{} 0.
\end{align}
</math>
这说明
:<math>{1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz = {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a} \, dz =  {1 \over 2\pi i} 2\pi i f(a) = f(a). \qquad \Box</math><ref name="sdj"/>{{rp|168-169}}

== 例子 ==
[[File:ComplexResiduesExample.png|thumb|300px|函数 ''g''(''z'') = ''z''<sup>2</sup>&nbsp;/&nbsp;(''z''<sup>2</sup> + 2''z'' + 2) 实部的图像，在两个极点附近趋于无穷]]
考虑函数：<math>g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}</math>以及闭合区域：|''z''| = 2。这是一个以原点为圆心，半径为2的圆，以下记作<math>C</math>. 下面使用柯西积分公式计算<math>g(z)</math>沿<math>C</math>的积分。

首先，函数<math>g</math>有两个[[极点 (复分析)|极点]]，分别是方程<math>z^2+2z+2 = 0</math>的两个复根：[[-1+i|<math>z_1=-1+i,</math>]] <math>z_2=-1-i.</math> 它们的[[模]]长都小于2，所以都在<math>C</math>的内部。函数可以写成<math>g</math>：
:<math>g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}.</math>
<math>g</math>在两个极点附近趋于无穷。在两个极点周围各作一个小圆圈：<math>C_1</math>和<math>C_2</math>，应用柯西积分定理可知，所要求的积分
:<math>\oint_{C} g(z) \, dz = \oint_{C_1} g(z) \, dz + \oint_{C_2} g(z) \, dz.</math>
注意到函数<math>f_1 = \frac{z^2}{z - z_1}</math>在<math>C_2</math>内部是全纯函数，所以在<math>C_2</math>上的积分：
:<math>\oint_{C_2} g(z)\, dz =  \oint_{C_2} {f_1(z) \over z - z_2} \, dz = 2\pi i f_1(z_2).</math>
同理，函数<math>f_2 = \frac{z^2}{z - z_2}</math>在<math>C_1</math>内部是全纯函数，所以
:<math>\oint_{C_1} g(z)\, dz =  \oint_{C_1} {f_2(z) \over z - z_1} \, dz = 2\pi i f_2(z_1).</math>
所以
:<math>
\begin{align}
\oint_{C} g(z) \, dz &= \oint_{C_2} g(z) \, dz + \oint_{C_1} g(z) \, dz. = 2\pi i f_1(z_2) + 2\pi i f_2(z_1) \\
&= 2\pi i \left( \frac{z_2^2}{z_2 - z_1} + \frac{z_1^2}{z_1 - z_2}\right) = 2\pi i \frac{z_1^2 - z_2^2}{z_1 - z_2} = 2\pi i \left( z_1 + z_2 \right) \\
&= -4\pi i
\end{align}
</math>

==参见==
*[[柯西积分定理]]
*[[刘维尔定理 (复分析)|刘维尔定理]]
*[[留数定理]]
*[[莫雷拉定理]]

==参考来源==
{{reflist}}

[[Category:奥古斯丁-路易·柯西]]
[[Category:复分析定理]]