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'''柯西积分定理'''（或稱'''柯西－古薩定理'''），是一个关于[[复平面]]上[[全纯函数]]的[[曲线积分|路径积分]]的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何[[弧长|可求长]]闭合曲线的积分是0.

==定理==
设<math>\Omega</math>是[[复平面]]<math>\mathbb{C}</math>的一个单连通的[[拓扑空间|开子集]]。<math>f \; : \;  \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}</math>是一个<math>\Omega</math>上的全纯函数。设<math>\gamma</math>是<math>\Omega</math>内的一个分段[[弧长|可求长]]的简单闭曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么：
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz = 0. </math><ref name="zjh">{{cite book|author=郑建华|title=《复变函数》|year=2005|publisher=清华大学出版社|isbn=9787302096931}}</ref>{{rp|52}}

===单连通条件的必要性===
<math>\Omega</math>是[[单连通]]表示<math>\Omega</math>中没有“洞”，例如任何一个开圆盘<math>D=\{ z: |z-z_{0}| < r\}</math>都符合条件，这个条件是很重要的，考虑中央有“洞”的圆盘：<math>D_{h}=\{ z: 0<|z-z_{0}| < 2\}</math>，在其中取逆时针方向的[[单位圆]]路径：
:<math>\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0,2\pi\right)</math>
考虑函数<math>f \; : \; z \; \mapsto \; 1/z</math>，它在<math>D_{h}</math>中是全纯函数，但它的路径积分：
:<math>\oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} { ie^{it} \over e^{it} }\,dt= \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i </math>
不等于零。这是因为函数<math>f</math>在“洞”中有[[奇点 (几何)|奇点]]。如果考虑整个圆盘<math>D_{s}=\{ z: |z-z_{0}| < 2\}</math>，就会发现<math>f</math>在圆盘中央的点上没有定义，不是全纯函数。<ref name="gba">{{cite book|author=George B. Arfken, Hans J. Weber|title=''Mathematical Methods for Physicists''|year=2005|publisher=Elsevier Academic Press（第6版）|language=en|isbn=0-12-088584-0}}</ref>{{rp|419}}

===等价叙述===
柯西积分定理有若干个等价的叙述。例如：
设<math>\Omega</math>是[[复平面]]<math>\mathbb{C}</math>的一个[[拓扑空间|开子集]]。<math>f \; : \;  \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}</math>是一个定义在<math>\Omega</math>上的函数。设<math>\gamma_1 \; : \; [0,1] \; \rightarrow \Omega</math>与<math>\gamma_2 \; : \; [0,1] \; \rightarrow \Omega</math>是<math>\Omega</math>内的两条[[弧长|可求长]]的简单曲线，它们的起点和终点都重合：
:<math>\gamma_1 (0) = \gamma_2 (0), \quad \gamma_1 (1) = \gamma_2 (1),</math>
并且函数<math>f</math>在<math>\gamma_1 </math>与<math>\gamma_2</math>围成的闭合区域<math>D</math>内是全纯函数，那么函数<math>f</math>沿这两条曲线的路径积分相同：
:<math>\int_{\gamma_1} f(z)\,dz = \int_{\gamma_2} f(z)\,dz. </math>

===推广===
除了对分段可求长的简单闭合曲线成立以外，柯西积分定理对于某些更复杂的曲线也适用。设<math>\Omega</math>是[[复平面]]<math>\mathbb{C}</math>的一个[[拓扑空间|开子集]]。<math>f \; : \;  \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}</math>是定义在<math>\Omega</math>上的全纯函数。无论<math>\Omega</math>内的曲线<math>\gamma</math>是自交还是[[卷绕数]]多于1（围着某一点转了不止一圈），只要<math>\gamma</math>能够通过连续形变收缩为<math>\Omega</math>内的一点，就有：
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz = 0. </math><ref name="zjh"/>{{rp|59}}

==证明==
以下的证明对函数有较为严格的要求，但对物理学中的应用来说已经足够。设<math>\Omega</math>是[[复平面]]<math>\mathbb{C}</math>的一个[[拓扑空间|开子集]]。<math>f \; : \;  \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}</math>是定义在<math>\Omega</math>上的全纯函数，<math>\gamma</math>是<math>\Omega</math>内的可求长的简单闭合曲线。假设<math>f</math>的一阶[[偏导数]]也在<math>\Omega</math>上连续，那么可以根据[[格林定理]]作出证明。具体如下：

为了便于表达，将函数<math>f</math>写为实部函数和虚部函数：<math>f(z) = f(x+yi) = u(x,y) +i\, v(x,y).</math> 由于<math> \displaystyle dz=dx+i\,dy </math>，积分
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) +i\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy)</math>
依据格林定理，右端的两个环路积分都可以变形为<math>\gamma</math>围成的区域<math>D_\gamma</math>上的面积分。
:<math>\oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) =  \iint_{D_\gamma} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy \; , \qquad \oint_\gamma (v\,dx+u\,dy) =  \iint_{D_\gamma} \left(  \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy</math>
另一方面，由于<math>f</math>是全纯函数，所以它的实部函数和虚部函数满足[[柯西－黎曼方程]]：
:<math>{ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y } \; , \qquad { \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } </math>
所以以上的两个积分中的被积函数都是0，
:<math>\iint_{D_\gamma} \left(  -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy = \iint_{D_\gamma} \left(  \frac{\partial u}{\partial y} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy =0</math>
:<math>\iint_{D_\gamma} \left(  \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy = \iint_{D_\gamma} \left(  \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial x} \right ) \, dx \, dy = 0</math>
因而积分也是0：
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz =0</math><ref name="gba"/>{{rp|420-421}}

==推论==
该定理的一个直接推论，是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于[[微积分基本定理]]的方法来计算：设<math>\Omega</math>是[[复平面]]<math>\mathbb{C}</math>的一个[[拓扑空间|开子集]]。<math>f \; : \;  \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}</math>是一个<math>\Omega</math>上的全纯函数。函数<math>f</math>在<math>\Omega</math>内的路径积分，只与积分的起点和终点有关，与中间经历的路径无关。假设，起点为{{math|''a''}}，则可以定义一个函数<math>F \; : \;  \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}</math>
:<math>\forall b \in \Omega , \; \; F(b) = \int_{\gamma_a^b} f(z)\,dz = \int_a^b f(z)\,dz</math>
其中的<math>\gamma_a^b</math>可以是任何以{{math|''a''}}为起点，{{math|''b''}}为终点的分段可求长简单曲线。函数<math>F</math>被称为<math>f</math>的（复）原函数或反导数函数。<ref name="gba"/>{{rp|422}}

柯西积分定理与柯西积分公式是等价的。从柯西积分定理可以推导出[[柯西积分公式]]和[[留数定理]]。

== 参见 ==
* [[柯西－黎曼方程]]
* [[柯西积分公式]]
* [[留数]]

== 参考来源 ==
===脚注===
{{reflist}}
===参考文献=== 
* Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991. 
* Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996. 
* Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999. 
* Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953. 
* Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.

== 外部链接 ==
* {{MathWorld | urlname= CauchyIntegralTheorem | title= 柯西积分定理}}

[[Category:奥古斯丁-路易·柯西]]
[[Category:复分析定理]]