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'''柯西定理'''是一個在[[群論]]裡的定理，以[[奧古斯丁·路易·柯西]]的名字來命名。其敘述著若''G''是一個[[有限群]]且''p''是一個可整除''G''之[[階 (群論)|階]]（''G''的元素數目）的[[質數]]，則''G''會有一個''p''階的元素。亦即，存在一個於''G''內的''x''，使得''p''為讓''x''<sup>''p''</sup>=''e''的最小非零整數，其中''e''為[[單位元素]]。

此一定理為[[拉格朗日定理 (群論)|拉格朗日定理]]的部份相反，其敘述著有限群''G''的每一個[[子群]]之階都會整除''G''的階。柯西定理表示對於每一個''G''之階的質因數''p''，總存在一個''G''內''p''階之子群－由柯西定理內之元素產生的[[循環群]]。

==证明==

我们对''n'' = |''G''|使用[[数学归纳法]]。考虑''G''是[[阿贝尔群]]，以及''G''不是阿贝尔群的两个情况。假设''G''是阿贝尔群。如果''G''是[[单群]]，那么它一定是素数阶[[循环群]]，因此显然含有''p''阶的元素。否则存在一个非平凡的[[正规子群]]<math>H \triangleleft G</math>。如果''p''能整除|''H''|，那么根据归纳假设，''H''含有一个''p''阶的元素，因此''G''也含有''p''阶的元素。否则，根据[[拉格朗日定理 (群论)|拉格朗日定理]]，''p''一定能整除[[子群的指数|指数]][''G'':''H'']，因此根据归纳假设，[[商群]]''G''/''H''含有一个''p''阶的元素；也就是说，在''G''中存在一个''x''，使得(''Hx'')<sup>''p''</sup> = ''Hx''<sup>''p''</sup> = ''H''。那么在''H''中存在一个元素''h''<sub>''1''</sub>，使得''h''<sub>''1''</sub>''x''<sup>''p''</sup> = 1——''G''的单位元。容易验证，对于''H''中的每一个元素''a''，都存在''H''中的一个元素''b''，使得''b''<sup>''p''</sup> = ''a''，因此在''H''中存在''h''<sub>''2''</sub>，使得''h''<sub>''2''</sub> <sup>''p''</sup> = ''h''<sub>''1''</sub>。所以''h''<sub>''2''</sub>''x''的阶为''p''，阿贝尔群的情况得证。

假设''G''不是阿贝尔群，那么它的[[中心 (群论)|中心]]''Z''是真子群。如果对于某个非中心元素''a''（也就是说，''a''不在''Z''内），''p''能整除[[中心化子]]''C''<sub>''G''</sub>(''a'')的阶，那么''C''<sub>''G''</sub>(''a'')就是一个真子群，因此根据归纳假设，它含有一个''p''阶的元素。否则，根据拉格朗日定理，''p''一定能整除指数[''G'':''C''<sub>''G''</sub>(a)]，对于所有的非中心''a''。利用[[共轭类#共轭类方程|类方程]]，可知''p''能整除方程的左端（|''G''|），因此也能整除右端的所有被加数，除了可能不整除|''Z''|以外。然而，经过一番计算就可发现，''p''必须也能整除''Z''的阶，因此根据归纳假设，中心子群含有一个''p''阶的元素，因为它是真子群，所以它的阶严格小于''G''的阶。证毕。

==參考==
* James McKay. ''Another proof of Cauchy's group theorem'', American Math. Monthly, 66 (1959), pg. 119.

==外部連結==
* {{planetmath|urlid=cauchystheorem|title=Cauchy's theorem}} 
* {{planetmath reference|id=2186|title=柯西定理的證明|urlname=proofofcauchystheorem}}


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