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在[[拓扑学]]和相关的[[数学]]分支中，'''T<sub>0</sub>空間'''，又稱'''柯爾莫哥洛夫空間'''（{{lang-en|T<sub>0</sub> space 或 Kolmogorov space}}），以數學家[[安德雷·柯爾莫哥洛夫]]命名，定義了一类廣泛地表現良好的[[拓扑空间]]。T<sub>0</sub> 条件是[[分离公理]]之一。

== 定义 ==

[[拓樸空間]]<math>X</math>是'''T<sub>0</sub>空间'''[[当且仅当]]對所有相異的<math>x,y\in X</math>且，存在[[開集合]]<math>U</math>使得<math>x\in U,\ y\notin U</math>或<math>y\in U,\ x\notin U</math>。<ref>{{cite mathworld|urlname=T0-Space|title=T<sub>0</sub>-Space |access-date=2017-10-04 |archive-date=2020-06-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200628133357/https://mathworld.wolfram.com/T0-Space.html |dead-url=no }}</ref>

T<sub>0</sub> 空间中所有相異点對都是[[拓扑不可区分性|拓扑可区分]]的。也就是说，对于任何两个相異的点<math>x</math>和<math>y</math>，存在一个正好只包含两點之一的[[开集]]。

注意拓扑可区分的点都是相異的。另一方面，如果[[单元素集合]]<math>\{x\}</math>和<math>\{y\}</math>是[[分离集合|分离]]的，则点<math>x</math>和<math>y</math>必為拓扑可区分的。也就是说：

:<math>\{x\}</math>與<math>\{y\}</math>「分离」<math>\implies x</math>與<math>y</math>「拓扑可区分」<math>\implies x \neq y</math>

''拓扑可区分''的條件一般强于''相異''的條件，但要弱于''可分离''的條件。

T<sub>0</sub> 空间中，第二个箭头可以反转：兩点相異当且仅当它们是拓樸可区分的。

==例子和反例==

在数学中经常研究的几乎所有拓扑都是 T<sub>0</sub> 的。例如所有[[豪斯多夫空间]]和 [[T1空间|T<sub>1</sub> 空间]]都是 T<sub>0</sub> 的。

===非 T<sub>0</sub> 空间===

*在带有[[密着拓扑]]的多元素集合中，没有点是拓撲可区分的。
*特定拓撲中的<math>\mathbb{R}^2</math>集合。其中开集都是<math>\mathbb{R}</math>的开集和<math>\mathbb{R}</math>自身的笛卡尔乘积的形式（<math>U \times \mathbb{R}</math>），即<math>\mathbb{R}</math>的平常拓扑和<math>\mathbb{R}</math>的密着拓扑的[[乘积空间]]；該拓撲中，點<math>(a,b)</math>和<math>(a,c)</math>是不可区分的。（注意：<math>(a,b)</math>為<math>\mathbb{R}^2</math>中的元素，而非<math>\mathbb{R}</math>的開區間）
*從[[數軸|实直线]]<math>\mathbb{R}</math>到[[复平面]]<math>\mathbb{C}</math>的[[可测函数]]<math>f</math>的空间，使得 <math>|f(x)|^2</math> 在整个实直线上的[[勒贝格积分]]是[[有限]]的。此空間中[[几乎处处]]相等的两个函数是不可区分的。

=== T<sub>0</sub> 但非 T<sub>1</sub> 空间===

*[[交换环]] ''R'' 的[[交换环谱|素环谱]] Spec(''R'') 上的 [[Zariski拓扑]]总是 T<sub>0</sub> 但一般不是 T<sub>1</sub>。非闭合点对应于不是[[极大理想]]的[[素理想]]。它们对于理解[[概形]]是重要的。
*在带有至少两个元素的任何集合上的[[特定点拓扑]]是 T<sub>0</sub> 但不是 T<sub>1</sub>，因为特定点不是闭合的（它的闭包是整个空间）。一种重要特殊情况是在集合 {0,1} 上的特定点拓扑的[[謝爾賓斯基空間]]。
*在带有至少两个元素的任何集合上的[[排斥点拓扑]]是 T<sub>0</sub> 但不是 T<sub>1</sub>。唯一闭合点是排斥点。
*在[[偏序集合]]上的[[Alexandrov拓扑]]是 T<sub>0</sub> 但不是 T<sub>1</sub> 除非这个次序是离散的（一致于相等性）。所有有限 T<sub>0</sub> 空间都是这种类型的。这还包括特定点和排斥点拓扑作为特殊情况。
*在[[全序集合]]上的[[序拓撲#左、右序拓扑|右序拓扑]]是有关的例子。
*[[重叠区间拓扑]]类似于特定点拓扑，因为所有开集都包括 0。
*非常一般的说，拓扑空间 ''X'' 是 T<sub>0</sub> 的，当且仅当在 ''X'' 上的[[特殊化预序]]是[[偏序]]。但是，''X'' 将是 T<sub>1</sub> 的，当且仅当这个次序是离散的（一致于相等性）。所以空间将是 T<sub>0</sub> 但不是 T<sub>1</sub>，当且仅当在 ''X'' 上的这个特殊化预序是非离散偏序。

==操作 T<sub>0</sub> 空间==

典型研究的拓扑空间的例子是 T<sub>0</sub>。实际上，当数学家在很多领域特别是[[数学分析]]中，偶尔遇到非T<sub>0</sub> 空间的时候，它们通过以如下方式把它替代为 T<sub>0</sub> 空间。为了激发涉及到的想法，考虑周知的例子。[[Lp空间|L<sup>2</sup>('''R''')]] 空间是从[[实直线]] '''R''' 到[[复平面]] '''C'''  的[[可测函数]]的空间，它使得 |''f''(''x'')|<sup>2</sup> 在整个实直线上的[[勒贝格积分]]是[[有限集合|有限]]的。这个空间应当通过定义范数 ||''f''|| 为这个积分的[[平方根]]来变成[[赋範向量空间]]。问题是这不是实际上的範数，只是[[半範数]]，因为有除了[[零函数]]之外有（半）范数为零的函数。标准解决是定义 L<sup>2</sup>('''R''') 为函数的[[等价类]]集合而不是直接的函数集合。这种构造了最初半赋範向量空间的[[商空间]]，而这个商是赋範向量空间。它从半赋範空间继承了一些方便的性质。

一般的说，在处理集合 ''X'' 上一个固定拓扑 '''T''' 的时候，如果这个拓扑是 T<sub>0</sub> 将是有帮助的。换句话说，在 ''X'' 是固定而 '''T''' 允许在特定边界内变化的时候，强迫 '''T''' 是 T<sub>0</sub> 将是不方便的，因为非 T<sub>0</sub> 拓扑经常是重要的特殊情况。因此，區分可以放置在拓扑空间上的各种条件的 T<sub>0</sub> 和非 T<sub>0</sub> 版本二者是重要的。

== 柯爾莫哥洛夫商空间 ==

點與點之間的拓扑不可区分性是一種[[等价关系]]。對任意拓扑空间<math>X</math>，通過考慮此等价关系給出的[[商空间]]总是T<sub>0</sub>空間。这个商空间叫做<math>X</math>的'''柯爾莫果洛夫商空间'''，寫作KQ(<math>X</math>)。如果<math>X</math>本身已經是T<sub>0</sub>空間，则 KQ(<math>X</math>)和<math>X</math>[[自然变换|自然]][[同胚]]。

绝对的说，柯爾莫果洛夫空间是拓扑空间的[[反射子范畴]]，而柯爾莫果洛夫商是反射子。

拓扑空间<math>X</math>和<math>Y</math>的柯爾莫果洛夫商同胚時，<math>X</math>和<math>Y</math>被稱為'''柯爾莫果洛夫等价'''的。这种等价性保留很多拓扑空间的性质（如[[連通]]性，[[緊緻]]性）；就是说，如果<math>X</math>和<math>Y</math>'''柯爾莫果洛夫等价'''，则<math>X</math>有某种性质当且仅当<math>Y</math>也有。

另一方面，許多拓扑空间的性质蕴涵了 T<sub>0</sub> 性；就是说如果<math>X</math>有这种性质，则<math>X</math>必定是 T<sub>0</sub>的。只有很少性质比如「<math>X</math>為[[不可分空间]]」，是这个经验规则的例外（此條件不蕴涵 T<sub>0</sub> 性）。

更為理想地，在拓扑空间上定义的很多[[数学结构|结构]]都可在<math>X</math>和 KQ(<math>X</math>) 之间转移。结果就是如果你有带有特定结构或性质的非 T<sub>0</sub> 拓扑空间，则你通常可通过选取柯爾莫果洛夫商来形成带有相同结构或性质的 T<sub>0</sub> 空间。

L<sup>2</sup>('''R''') 的例子展示了这些特征。从拓扑学的角度，这个半赋範向量空间有很多额外的结构；例如，它是[[向量空间]]，并有半范数，并且这些定义了相容于这个拓扑的[[伪度量]]和[[一致结构]]。还有，这些结构有很多性质；例如半范数满足[[平行四边形恒等式]]而一致结构是[[完备空间|完备]]的。这个空间不是 T<sub>0</sub> 的因为[[几乎处处]]相等的任何两个 L<sup>2</sup>('''R''') 的函数关于这个拓扑是不可区分的。当我们形成柯爾莫果洛夫商的时候，实际的 L<sup>2</sup>('''R''') 保持了这些结构和性质。因此，L<sup>2</sup>('''R''') 也是满足平行四边形恒等式的完备半赋范向量空间。但是我们实际上得到的要多了一点，因为这个空间现在是 T<sub>0</sub> 的。半范数是范数，当且仅当底层拓扑是 T<sub>0</sub>，所以 L<sup>2</sup>('''R''') 实际上是满足平行四边形恒等式的完备赋范向量空间 — 也叫做[[希尔伯特空间]]。它是数学家（和研究[[量子力学]]的[[物理学家]]）一般都研究的希尔伯特空间。注意符号 L<sup>2</sup>('''R''') 通常指示柯爾莫果洛夫商，在测度零的集合上有所不同的平方可积函数的等价类的集合，而非符号所暗示的简单的是平方可积函数的向量空间。

== 去除 T<sub>0</sub> ==

你可能注意到了，尽管范数历史上定义在先，人们也提出了半范数的定义，它是范数的一种非 T<sub>0</sub> 版本。一般的说，可以定义拓扑空间的性质和结构二者的非 T<sub>0</sub> 版本。首先，考虑拓扑空间的一个性质，比如是[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]]的性质。你可以定义另一个拓扑空间性质，通过定义空间 ''X'' 为满足这个性质，当且仅当柯爾莫果洛夫商 KQ(''X'') 是豪斯多夫的。这是一个明智的不太著名的性质，这种空间 ''X'' 被为[[预正则空间|预正则]]的。（甚至有预正则性的更直接的定义）。现在考虑可以放置到拓扑空间上一个结构，比如[[度量空间|度量]]。我们可以通过设置在 ''X'' 上的结构简单的是在 KQ(''X'') 上的度量来定义一个新结构。有这种在 ''X'' 上的明智的结构，它就是[[伪度量]]。（伪度量也有更直接的定义）。

在这种方式下，有从性质或结构的要求中去除 T<sub>0</sub> 性的自然方式。研究 T<sub>0</sub> 的空间一般要容易些，但让非 T<sub>0</sub> 的结构得到漂洗后的对应者也是容易的。使用柯爾莫果洛夫商的概念可以任意的增加或去除 T<sub>0</sub> 要求。


==參考來源==
{{reflist}}


==外部链接==

* [https://web.archive.org/web/20050115091525/http://kolmogorov.com/ The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov] Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.
* [https://web.archive.org/web/20070621125416/http://www.mathematik.tu-darmstadt.de:8080/Math-Net/Lehrveranstaltungen/Lehrmaterial/SS2003/Topology/separation.pdf History of weak separation axioms] (PDF file)

{{点集拓扑}}
[[Category:分离公理]]