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'''柯尼希-费舍尔展开(Cornish-Fisher expansion)'''是一种[[渐近展开|渐近展开式]]，用于逼近一个[[概率分布]]的[[分位数]] <ref name="Cornish1937">{{Cite journal|title=Moments and Cumulants in the Specification of Distributions|url=https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15229/1/148.pdf|last=Cornish|first=E. A.|last2=Fisher|first2=Ronald A.|authorlink2=Ronald Fisher|journal=Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute|issue=4|doi=10.2307/1400905|year=1938|volume=5|pages=307–320|jstor=1400905|access-date=2020-12-04|archive-date=2017-09-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20170921194840/https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15229/1/148.pdf|dead-url=no}}</ref>。这个展开成立时，它可以比[[中心极限定理]]提供更精确的分位数逼近。

每一个Cornish-Fisher展开的成立与否，依赖于其相应的[[埃奇沃斯級數|Edgeworth展开]]的正确性。Cornish-Fisher展开是其对应的Edgeworth展开的逆<ref name=HallInverse>{{Cite journal|title=Inverting an Edgeworth Expansion|url=http://projecteuclid.org/euclid.aos/1176346162|last=Hall|first=Peter|date=1983-06|journal=The Annals of Statistics|issue=2|doi=10.1214/aos/1176346162|volume=11|pages=569–576|language=en|issn=0090-5364|access-date=2020-12-04|archive-date=2018-06-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20180601230145/https://projecteuclid.org/euclid.aos/1176346162|dead-url=no}}</ref>。

这个展开以E. A. Cornish和著名统计学家[[R. A. 费希尔|R. A. 费舍尔]]命名，他们于1937年发明该方法<ref name=Cornish19372>{{Cite journal|title=Moments and Cumulants in the Specification of Distributions|url=https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15229/1/148.pdf|last=Cornish|first=E. A.|last2=Fisher|first2=Ronald A.|authorlink2=Ronald Fisher|journal=Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute|issue=4|doi=10.2307/1400905|year=1938|volume=5|pages=307–320|jstor=1400905|access-date=2020-12-04|archive-date=2017-09-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20170921194840/https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15229/1/148.pdf|dead-url=no}}</ref><ref name=FisherCornish1960>{{Cite journal|title=The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00401706.1960.10489895|last=Fisher|first=Sir Ronald A.|last2=Cornish|first2=E. A.|date=1960-05-01|journal=Technometrics|issue=2|doi=10.1080/00401706.1960.10489895|volume=2|pages=209–225|issn=0040-1706|access-date=2020-12-04|archive-date=2021-10-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20211017035250/https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00401706.1960.10489895|dead-url=no}}</ref>。

== 表达式和系数的计算方法 ==

最简单的定义Cornish-Fisher展开表达式的方式是待定系数法{{r|HallInverse}}。假设我们有来自某分布 <math>{\cal F}</math> 的独立同分布随机变量 <math>X_1,\ldots,X_n</math> ，现在要估计总体的某个泛函 <math>\theta = \theta({\cal F})</math> ，假设 <math>\hat\theta</math> 是基于样本的一个估计，并且对该估计，成立以下的 <math>K</math> 阶Edgeworth展开

: <math>
   \mathbb{P}(n^{1/2}(\hat\theta - \theta)\leq x) = \Phi(x) + \left\{ \sum_{k=1}^K n^{-k/2}\cdot \Gamma_k(x) \right\}\cdot \varphi(x) + O(n^{-(K+1)/2})
</math>
其中 <math>\Phi(\cdot)</math> 和 <math>\varphi(\cdot)</math> 分别是标准正态分布的CDF和PDF， <math>\Gamma_k(\cdot)</math> 是 <math>x</math> 的多项式，余项表示的是一致误差界，即它是精确分布和逼近分布的 <math>\|\cdot\|_\infty</math> 距离。

那么对任何给定的 <math>\alpha\in(0,1)</math> ，枢轴变量 <math> n^{1/2}(\hat\theta - \theta) </math> 的下 <math>\alpha</math> 分位数 <math>\theta_\alpha</math> 可以由下列Cornish-Fisher展开逼近：
: <math>
   \hat\theta_\alpha := z_\alpha - \left\{ \sum_{k=1}^K n^{-k/2}\cdot \tilde\Gamma_k(z_\alpha) \right\}\cdot \varphi(z_\alpha)
</math>

其中 <math>z_\alpha</math> 是标准正态分布的下 <math>\alpha</math> 分位数，系数 <math>\tilde\Gamma_k(y)</math> 从以下的式子以待定系数法'''逐个'''解出
: <math>
\begin{align}
    \mathbb{P}(n^{1/2}(\hat\theta - \theta) &\leq y - n^{-1/2}\cdot \tilde\Gamma_1(y)) = \Phi(y) + O(n^{-1})\\
    \mathbb{P}(n^{1/2}(\hat\theta - \theta) &\leq y - n^{-1/2}\cdot \tilde\Gamma_1(y) - n^{-1}\cdot \tilde\Gamma_2(y)) = \Phi(y) + O(n^{-3/2})\\
    \cdots &\cdots\\
    \mathbb{P}\Bigg(n^{1/2}(\hat\theta - \theta) &\leq y - \sum_{k=1}^K n^{-k/2}\cdot \tilde\Gamma_k(y) \Bigg) = \Phi(y) + O(n^{-(K+1)/2})
\end{align}
</math>
例如，解第一个方程时，将 <math>x=y - n^{-1/2}\cdot \tilde\Gamma_1(y)</math> 代回到Edgeworth展开里， <math>\tilde\Gamma_1(y)</math> 的解是（唯一的）能消去 <math> n^{-1/2} </math> 阶项的表达式。

== 性质 ==
一般来说，Cornish-Fisher展开与它所来自的Edgeworth展开拥有相同的逼近阶数和一致误差项，除非该Edgeworth展开带有跳跃点{{r|HallInverse}}。


== 参考文献 ==

{{reflist}}

[[Category:逻辑表达式]]
[[Category:统计偏差和离散度]]