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在[[概率论]]中，'''柯尔莫哥洛夫二级数定理'''是关于[[随机变量]]序列的无穷求和收敛性的定理。该定理以[[苏联]]数学家[[安德雷·柯尔莫哥洛夫]]命名，可以用于证明[[大数定律|强大数定律]]。

== 定理的陈述 ==
设<math>X_n</math>为[[独立 (概率论)|独立]]的随机变量，如果 <math>\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Var}(X_n)</math> 有限，那么 <math>\sum_{n=1}^{\infty} (X_n-\operatorname{E}[X_n])</math> [[幾乎必然收斂|几乎必然收敛]]。
== 证明 ==
不妨假设<math>X_n</math>的期望值均为0。设<math>S_n = \sum_{i=1}^n X_i</math> ，下面我们证明<math>\limsup_{n\to \infty} S_n - \liminf_{n \to \infty} S_n = 0</math>几乎必然成立。从而 <math>S_n</math>[[幾乎必然收斂|几乎必然收敛]]。
对于任意正整数''m'' ,

<math>\limsup_{n \to \infty} S_n - \liminf_{n \to \infty} S_n 
= \limsup_{n \to \infty} \left( S_n - S_m \right) - \liminf_{N \to \infty} \left( S_N - S_m \right) 
\leq  2 \max_{k > m } \left| \sum_{i=m+1}^{k} X_{i} \right|</math>

因此，对于任意<math>\varepsilon>0</math>和正整数''m''，都有<math display="block"> \mathbb{P} \left( \limsup_{n \to \infty}  S_n  - \liminf_{n \to \infty}  S_n  \geq \varepsilon \right)= \mathbb{P} \left( \max_{k >m } \left| \sum_{i=m+1}^{k} X_{i} \right| \geq \frac{\varepsilon}{2}  \right) </math>


由[[柯尔莫哥洛夫不等式]]，

<math>
\mathbb{P} \left( \max_{k >m } \left| \sum_{i=m+1}^{k} X_{i} \right| \geq \frac{\varepsilon}{2}  \right) \leq \frac{4}{\varepsilon^2} \sum_{i=m+1}^{\infty} \operatorname{Var}(X_n) 
</math>

由方差之和有限的假设，当<math>m\to \infty</math>时，上式右边趋于0。这样就证明了<math>\limsup_{n\to \infty} S_n - \liminf_{n \to \infty} S_n = 0\text{ a.s.}</math>

== 参考文献 ==
[[Category:機率論定理]]