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在[[数学]]之[[概率论]]中，尤其是[[随机过程]]理论中，查普曼-科尔莫戈罗夫等式是一个重要的结论。它将一个随机过程的几个不同维的[[联合分布函数]]联系在一起。

假设 { ''f''<sub>''i''</sub> } 是一个随机过程，即一个随机变量集合（每个元素对应一个只命名不排序的索引）。
记
:<math>p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)</math>
为从''f<sub>1</sub>''到''f<sub>n</sub>''的各随机变量的联合分布函数，则查普曼-科尔莫戈罗夫等式为：

:<math>p_{i_1,\ldots,i_{n-1}}(f_1,\ldots,f_{n-1})=\int_{-\infty}^{\infty}p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)\,df_n</math>

也就是说，这是一个直接定义在[[干扰随机变量]]上的[[条件概率]]。 （注意这里各随机变量的顺序不重要）

该公式名称来自数学家[[西德尼·查普曼]]和[[安德雷·柯尔莫哥洛夫]]。

== 特化为马尔可夫链 ==

如果随机过程特定为[[马尔可夫链]]，查普曼-科尔莫戈罗夫等式就是关于转移概率的公式。在[[马尔可夫链]]中，随机变量在一个按时间排序的数组<math>i_1<\ldots<i_n</math>中。按[[马尔可夫性质]]（无记忆性质）, 
:<math>p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)=p_{i_1}(f_1)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1)\cdots p_{i_n;i_{n-1}}(f_n{\mid}f_{n-1}),</math> 
（其中条件概率<math>p_{i;j}(f_i{\mid}f_j)</math>是<math>i>j</math>时间的[[转移概率]]。查普曼-科尔莫戈罗夫等式简化为：
:<math>p_{i_3;i_1}(f_3{\mid}f_1)=\int_{-\infty}^{\infty}p_{i_3;i_2}(f_3\mid f_2)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1)df_2.</math>

如果马尔可夫链的状态空间的概率分布是离散的，查普曼-科尔莫戈罗夫等式可表示为（可到无穷维的）[[矩阵相乘]]：

:<math>P(t+s)=P(t)P(s)\,</math>

（其中<math>P(t)</math>是转移矩阵，<math>X_t</math>是''t''时间的系统状态），则对于系统状态空间中的任意两个点''i''和''j''：

:<math>P_{ij}(t)=P(X_t=j\mid X_0=i).</math>

== 相关条目 ==
* {{tsl|en|Examples of Markov chains|马尔可夫链范例}}
* [[福克-普朗克方程]]
* {{tsl|en|Kolmogorov backward equation|柯莫哥洛夫后向方程}}
* [[主方程式]]（物理）

== 参考文献 ==

* [https://web.archive.org/web/20050115091525/http://kolmogorov.com/ The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov] Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.
* {{mathworld|urlname=Chapman-KolmogorovEquation|title=Chapman-Kolmogorov Equation}}

[[Category:马尔可夫过程]]