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[[数学]]中，''m''-[[流形]]''M''的'''柄分解'''（handle decomposition）是并

<math display="block">\emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M</math>
其中<math>M_i</math>都由<math>M_{i-1}</math>附加一个''i''-'''柄'''（handle）而来。柄分解之于流形就像[[CW复形|CW分解]]之于拓扑空间—在很多方面，柄分解的目的是得到一种适用于[[光滑流形]]情形的类CW复形的语言。因此，''i''-柄就是''i''-胞腔的光滑类似物。流形的柄分解是从[[莫尔斯理论]]自然产生的。并结构的修改与[[瑟夫理论]]密切相关。

[[Image:Sphere with three handles.png|right|thumb|附着了3个1-柄的3-球。]]

==动机==
考虑''n''-球的标准CW分解，其中有一个零胞腔与一个''n''-胞腔。从光滑流形的角度来看，这是球面的退化分解，因为没有自然方法从分解的角度来看<math>S^n</math>的光滑结构—尤其是''0''-胞腔附近的光滑结构取决于特征映射<math>\chi : D^n \to S^n</math>在<math>S^{n-1} \subset D^n</math>的邻域中的行为。

CW分解的问题在于，胞腔的附着映射不属于流形间的光滑映射。[[管状邻域]]定理是纠正这一缺陷的萌芽。给定流形''M''中的点''p''，其闭管状邻域<math>N_p</math>微分同胚于<math>D^m</math>，因此我们将''M''分解为沿<math>N_p</math>、<math>M \setminus \operatorname{int}(N_p)</math>的共同边界胶合的不交并。这里的关键问题是，胶合映射是微分同胚映射。同样，取<math>M \setminus \operatorname{int}(N_p)</math>中的光滑嵌入弧，其管状邻域微分同胚于<math>I \times D^{m-1}</math>。这样就可以把''M''写成三个流形的并，沿它们一部分边界胶合：1) <math>D^m</math>  2) <math>I \times D^{m-1}</math> 3) <math>M \setminus \operatorname{int}(N_p)</math>中弧的开管状邻域的补。注意所有胶合映射都是光滑的，特别是将<math>I \times D^{m-1}</math>胶合至<math>D^m</math>时，等价关系由<math>(\partial I)\times D^{m-1}</math>在<math>\partial D^m</math>中的嵌入生成，根据[[管状邻域]]定理它是光滑的。

柄分解是[[斯蒂芬·斯梅尔]]的发明。<ref>S. Smale, "On the structure of manifolds" Amer. J. Math. , 84 (1962) pp. 387–399</ref>他的最初表述中，'''将''j''-柄附着到''m''-流形''M''的过程'''假定有<math>f : S^{j-1} \times D^{m-j} \to \partial M</math>的光滑嵌入。令<math>H^j = D^j \times D^{m-j}</math>，流形<math>M \cup_f H^j</math>（即'''''M''沿''f''并上一个''j''-柄'''）是指''M''与<math>H^j</math>的不交并，<math>S^{j-1} \times D^{m-j}</math>与其在<math>\partial M</math>中的像相等，即
<math display="block"> M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim</math>
其中[[商空间|等价关系]]<math>\sim</math>由<math>(p,x) \sim f(p,x)</math>生成，<math>\forall (p,x) \in S^{j-1} \times D^{m-j} \subset D^j \times D^{m-j}</math>。

若''M''的并具有有限多个''j''-柄，且微分同胚于流形''N''，则称''N''来自在''M''上附着''j''-柄。则柄分解的定义与概述中相同。于是，若流形微分同胚于球的不交并，则流形的柄分解将只有0-柄。连通流形只含有两种柄（即0-柄与''j''-柄，其中''j''为定值），也称作[[柄体]]。

==术语==
''M''并上''j''-柄<math>H^j</math>时，
<math display="block"> M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim</math>

<math>f(S^{j-1} \times \{0\}) \subset M</math>称作'''被附着球面'''（attaching sphere）。

''f''有时也称作被附着球面的'''框架'''（framing），因为它将其[[法丛]][[向量丛|平凡化]]。

<math>\{0\}^j \times S^{m-j-1} \subset D^j \times D^{m-j} = H^j</math>是柄<math>H^j</math>在<math> M \cup_f H^j</math>中的'''带球'''（belt sphere）。

将''g''个''k''-柄附着到圆盘<math>D^m</math>所得的流形是'''亏格为''g''的''(m,k)''-柄体'''。

==配边演示==
'''配边''W''的柄演示'''中有<math>\partial W = M_0 \cup M_1</math>，且有渐进并
<math display="block">W_{-1} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_{m+1} = W </math>
其中''M''是''m''维的，''W''是''m+1''维的，<math>W_{-1}</math>微分同胚于<math>M_0 \times [0,1]</math>，<math>W_i</math>来自<math>W_{i-1}</math>附着以''i''-柄。若说柄分解之于流形好比胞腔分解之于拓扑空间，择配边的柄演示之于有界流形就好比相关胞腔分解之于空间对。

==莫尔斯理论观点==
给定紧无界流形''M''上的[[莫尔斯理论|莫尔斯函数]]<math>f : M \to \R</math>，使''f''的[[临界点 (数学)|临界点]]<math>\{p_1, \ldots, p_k\} \subset M</math>满足<math>f(p_1) < f(p_2) < \cdots < f(p_k) </math>，并有

<math display="block">t_0 < f(p_1) < t_1 < f(p_2) < \cdots < t_{k-1} < f(p_k) < t_k ,</math>
则<math>\forall j,\ f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]</math>微分同胚于<math>(f^{-1}(t_{j-1}) \times [0,1]) \cup H^{I(j)}</math>，其中<math>I(j)</math>是临界点<math>p_{j}</math>的指标，是[[黑塞矩阵]]为负定的切空间<math>T_{p_j}M</math>的最大子空间的维度。

令指标满足<math>I(1) \leq I(2) \leq \cdots \leq I(k)</math>，则这是''M''的柄分解；由于流形上必有这样的莫尔斯函数，所以它们都有柄分解。相似地，给定配边''W''满足<math> \partial W = M_0 \cup M_1</math>、函数<math> f: W \to \R</math>，其在内部是莫尔斯的，在边界为常数，且满足指标递增，则配边''W''有诱导柄演示。

若''f''是''M''上的莫尔斯函数，则-''f''也是莫尔斯函数。相应的柄分解/演示称作'''对偶分解'''。

==主要定理与观察==
* 闭有向3-流形的[[希加德分裂]]将3-流形分解为两(3,1)-柄体沿共同边界之并，公共边界称作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好几种自然的产生方式：给定3-流形的柄分解，0、1-柄之交是(3,1)-柄体，3、2-柄的并也是(3,1)-柄体（从对偶分解的角度来看），于是是希加德分裂。若3-流形有[[三角化]]''T''，则有诱导希加德分裂，其中第一个(3,1)-柄体是1-骨架（skeleton）<math>T^1</math>的正则邻域，其他(3,1)-柄体是[[庞加莱对偶性|对偶1-骨架]]的正则邻域。
* 相继附着两个柄<math>(M \cup_f H^i) \cup_g H^j</math>时，有可能切换附着的阶，使得<math>j \leq i</math>，即此流形微分同胚于形式为<math>(M \cup H^j) \cup H^i</math>的流形。
* <math>M \cup_f H^j</math>的边界与沿有框架球''f''的边界<math>\partial M</math>是微分同胚。这是[[割补理论|割补]]、柄与莫尔斯函数之间的主要联系。
* 因此，当且仅当可通过对<math>S^m</math>中的有框架链接（framed link）集进行割补，得到''m''维流形''M''时，''M''是''m+1''维流形''W''的边界。举例，由从René Thom关于配边的研究，我们知道每个3-流形都是某4-流形的边界（相似地，有向、有旋的3-流形分别是有向、有旋的4-流形的边界）。于是，3-流形都可从3-球中有框架链接的割补得到。在有向情形，常规做法是将这种有框架链接简化为圆的不交并的有框架嵌入。
* [[h-配边]]定理通过简化光滑流形的柄分解证明。

==另见==
*[[卡森柄]]
*[[配边]]
*[[CW复形]]
*[[柄体]]
*[[卡比演算]]
*[[流形分解]]

==参考文献==
===注释===
{{reflist}}

===通用文献===
* A. Kosinski, ''Differential Manifolds'' Vol 138 Pure and Applied Mathematics, Academic Press (1992).
* [[Robert Gompf]] and Andras Stipsicz, ''4-Manifolds and Kirby Calculus'', (1999) (Volume 20 in ''[[Graduate Studies in Mathematics]]''), American Mathematical Society, Providence, RI {{ISBN|0-8218-0994-6}}

{{DEFAULTSORT:Handle Decomposition}}
[[Category:几何拓扑]]