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[[Image:Triple torus illustration.png|right|thumb|亏格为3的柄体。]]
[[几何拓扑]]中，'''柄体'''（handlebody）是将[[流形]]分解为标准小块的一种方法。柄体在高维流形的[[莫尔斯理论]]、[[配边]]理论和[[割补理论]]中发挥着重要作用。柄体尤其适用于研究3维流形。

柄体之于流形研究，好比[[单纯复形]]和[[CW复形]]之于[[同伦论]]，允许人们从单个小块及其相互作用的角度分析空间。

==''n''维柄体==
''n''维有界流形<math>(W,\partial W)</math>，
:<math>S^{r-1} \times D^{n-r} \subset \partial W</math>

（其中<math>S^{n}</math>是[[n维球面]]，<math>D^n</math>是''n''维球体）是嵌入，则称边界为
:<math>(W',\partial W') = ((W \cup( D^r \times D^{n-r})),(\partial W - S^{r-1} \times D^{n-r})\cup (D^r \times S^{n-r-1}))</math>

的''n''维流形来自
:<math>(W,\partial W)</math>

附加（attach）以''r''柄。
边界<math>\partial W'</math>从<math>\partial W</math>由[[割补理论|割补]]而来。作为平凡例子，附加0柄就是取球的不交并；给<math>(W,\partial W)</math>附加''n''柄是沿 <math>\partial W</math>的任意球面组分胶合进一个球。[[勒内·托姆]]和[[约翰·米尔诺]]用[[莫尔斯理论]]证明流形（无论有无边）都是柄体，即流形可表为柄的交。这个分解不是唯一的：柄体分解的操作是证明[[斯蒂芬·斯梅尔|斯梅尔]][[h配边]]定理及其推广到s配边定理的基本要素。

若流形是''r''柄的交（<math>r\le k</math>），则称流形是k柄体，不同于流形的维度。例如，4维2柄体是0柄、1柄与2柄的并。流形都是''n''柄体，即流形都是柄的交。不难看出，当且仅当流形具有非空的边界时，流形是(n-1)柄体。

流形的柄分解确定了流形的[[CW复形]]分解，因为附加一个r柄同伦等价于附加一个r胞腔。不过，柄分解提供的信息不仅是流形的同伦类：柄分解在同胚意义上完全描述了流形。[[怪球面]]都是0柄与n并的交。4维中，只要附加映射光滑，甚至还能描述光滑结构；但在更高维度则不能。

==3维柄体==
柄体可定义为有向有界3维流形，包含逐对不交、规范嵌入（properly embed）的2圆盘，使沿圆盘切下的流形形成3球。想象一下这个过程反过来，是如何得到柄体的（有时最后一个定义中的“有向”被去掉了，于是就得到了具有无向柄的更一般的柄体）。

柄体的亏格是其[[边界 (拓扑学)|边界]][[曲面]]的[[亏格]]。在[[同胚]]的意义上，非负整数亏格的柄体只有一个。

柄体在3维流形理论中的重要性来自于与[[希加德分裂]]的联系。[[几何群论]]中柄体的重要性来自于柄体的[[基本群]]自由这一事实。

较老的文献中，3维柄体有时被称作“有柄立方体”（cube with handles）。

==例子==
令''G''维嵌入在n维[[欧氏空间]]的连通[[有限集|有限]]图。令''V''为欧氏空间中''G''的闭规范邻域，则''V''是n维柄体。图''G''称作''V''的“脊”（spine）。

0亏格柄体[[同胚]]于3[[球]]<math>B^3</math>。1亏格柄体[[同胚]]于<math>B^2\times S^1</math>（其中<math>S^1</math>是[[圆]]），称作实[[环面]]（solid torus）。其他柄体都可通过取实环面集合的边界[[连通和]]得来。

==另见==
* [[柄分解]]

==参考文献==
*{{Citation | last1=Matsumoto | first1=Yukio | title=An introduction to Morse theory | url=https://books.google.com/books?id=TtKyqozvgIwC | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Translations of Mathematical Monographs | isbn=978-0-8218-1022-4 | mr=1873233 | year=2002 | volume=208}}

[[Category:几何拓扑]]
[[Category:割补理论]]