查看“︁枚举几何”︁的源代码

'''枚举几何'''是[[代数几何]]的一个分支，主要用[[相交理论]]计算几何问题的解的数量。

==历史==
[[File:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|thumb|right|[[阿波罗尼奥斯问题|阿波罗尼奥斯圆]]]]
[[阿波罗尼奥斯问题]]是枚举几何最早的例子之一。这个问题要求找出与3个给定圆、点或与线相切的圆的数量和构造。一般来说，3个给定圆的问题有8个解，可以看做是2<sup>3</sup>个解，每个相切条件都对圆的空间施加了二次条件。然而，对于给定圆的特殊排列，解的数目也可能是0（无解）到6之间的任意整数；没有任何一种排列有7个解。

==核心工具==
从初级到高级的工具包括：
* [[余维数]]
* [[贝祖定理]]
* [[舒伯特积分]]，以及[[上同调]]中的[[示性类]]
* 交点计数与上同调的联系源于[[庞加莱对偶性]]
* 曲线、映射等几何对象的[[模空间]]的研究，有时通过[[量子上同调]]进行。[[量子上同调]]、[[格罗莫夫-威滕不变量]]和[[镜像对称 (弦理论)|镜像对称]]的研究在克莱门斯猜想中取得了重大进展。

枚举几何与[[相交理论]]关系密切。

==舒伯特积分==
19世纪末，枚举几何在[[赫尔曼·舒伯特]]手中得到了惊人的发展，<ref>{{Cite book|first=H. |last=Schubert|title=Kalkül der abzählenden Geometrie|url=https://archive.org/details/kalkulderabza00schurich | year =1879|publication-date =1979}}</ref>他为此引入了[[舒伯特积分]]，其在更广泛的领域具有基本的几何与[[拓扑学]]价值。直到1960、70年代，枚举几何的特殊需求才得到进一步关注（如Steven Kleiman指出的）。[[相交数]]已有严格定义（[[安德烈·韦伊]]作为其基础课程1942&ndash;6,<ref>{{cite book| first= Andre| last= Weil| title= Foundations of Algebraic Geometry|isbn= 9780821874622}}</ref>的一部分提出），但这并没有穷尽枚举问题的基本领域。

==修正因子与希尔伯特第15问题==
正如下面的例子所示，天真地应用维数计数与贝祖定理会产生错误结果。为解决这些问题，代数几何学家引入了模糊的“[[修正因子]]”，几十年后才有严格证明。

例如，计与[[射影平面]]中5条给定直线相切的[[圆锥曲线]]之数。<ref>{{cite book|first=William|last= Fulton|author-link=William Fulton (mathematician)| title=Intersection Theory|url=https://archive.org/details/intersectiontheo0000fult|year=1984|chapter= 10.4|isbn=0-387-12176-5}}</ref>它们构成维数为5的[[射影空间]]，其6个系数作为[[齐次坐标]]。若5个点处于一般的[[一般位置|线性位置]]（穿过给定点会带来线性条件），就可以确定一条圆锥曲线。同样，与给定直线''L''相切（即相交，倍数为2）是个二次条件，于是<math>P^5</math>中确定了[[二次曲面]]。但由所有此类二次曲面构成的除子线性系统并非没有基轨；事实上，每个此种二次曲面都包含[[委罗内塞面]]，参数化了圆锥曲线

:<math>(aX+bY+cZ)^2=0</math>

称作“双线”。这是因为，双线与平面的每条直线都相交（因为射影平面中的直线都相交），由于是二次所以倍数为2，从而满足与直线相切的非退化圆锥相同的交点条件。

据一般[[贝祖定理]]，5维空间中的5个一般二次曲面将有<math>32 = 2^5</math>个交点，其中的相关二次曲面不在[[一般位置]]上。必须要从32中减去31，将其归入委罗内塞面，才能得到（几何角度的）正确答案：1。这种将交点归为“退化”情形的过程是典型的几何“[[修正因子]]”。

[[希尔伯特第十五问题]]便是要克服这些干涉的明显的任意性：这方面超出了舒伯特积分本身的基础问题。

==克莱门斯猜想==
1984年，[[赫伯特·克莱门斯]]研究了5次3维流形<math>X\subset P^4</math>上的[[代數曲線#有理曲線|有理曲线]]计数，提出以下猜想：

: 正整数<math>d</math>，则在一般5次3维流形<math>X \subset P^4</math>上只有有限多条度为<math>d</math>的有理曲线。

此猜想<math>d \le 9</math>的情形已有证明。

1991年，论文<ref>* {{cite journal |last=Candelas |first=Philip |author-link=Philip Candelas |last2=de la Ossa |first2=Xenia |last3=Green |first3=Paul |last4=Parks |first4=Linda |date=1991 |title=A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory |journal=Nuclear Physics B |volume=359 |issue=1 |pages=21–74|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6 }}</ref>从弦论角度讨论了<math>P^4</math>中5次3维流形的镜像对称，给出了在所有<math>d > 0</math>下<math>X</math>上度为<math>d</math>的有理曲线的数量。这之前代数几何学家只能计算<math>d \le 5</math>的情况。

==例子==
代数几何中，历史上重要的枚举几何例子包括：

*2  空间中4条一般直线相交的直线数
*8   与3个一般圆相切的圆数（[[阿波罗尼奥斯问题]]）
*27   光滑[[三次曲面]]上的直线数（[[乔治·萨蒙]]、[[阿瑟·凯莱]]）
*2875  一般5次3维流形上的直线数
*3264  与一般位置的5条平面圆锥相切的圆锥曲线数 ([[米歇尔·沙勒]]）
*609250   一般5次3维流形上的圆锥曲线数
*4407296 与8个一般二次曲面相切的圆锥曲线数{{harvtxt|Fulton|1984|loc=p. 193}}
*666841088  3维空间中与9个一般位置的给定二次曲面相切的二次曲面数{{harv|Schubert|1879|loc=p.106}} {{harv|Fulton|1984|loc=p. 193}}
*5819539783680 3维空间中与12个一般位置的给定二次曲面相切的扭曲三次曲面数{{harv|Schubert|1879|loc=p.184}}  {{harvs|last=Kleiman|first=S.|last2= Strømme|first2= S. A.|last3= Xambó|first3= S.|year= 1987}}

==参考文献==
{{reflist}}
*{{citation|mr=0908713  |last=Kleiman|first=S.|last2= Strømme|first2= S. A.|last3= Xambó|first3= S.|chapter= Sketch of a verification of Schubert's number 5819539783680 of twisted cubics|title= Space curves (Rocca di Papa, 1985)|pages= 156–180|series= Lecture Notes in Math. |volume=1266|publisher= Springer|place= Berlin|year= 1987|doi=10.1007/BFb0078183|isbn=978-3-540-18020-3}}
*{{citation|mr=0555576 
|last=Schubert|first= Hermann
|title=Kalkül der abzählenden Geometrie|language=de
|series=Reprint of the 1879 original|editor-first=Steven L. |editor-last=Kleiman|publisher= Springer-Verlag|place= Berlin-New York|year= 1979|isbn= 3-540-09233-1 |orig-year=1879|url=https://archive.org/details/kalklderabzh00schuuoft}}

==外部链接==
*{{cite journal|author=Bashelor, Andrew|author2=Ksir, Amy|author3=Traves, Will|title=Enumerative Algebraic Geometry of Conics|journal=Amer. Math. Monthly|volume=115|issue=8|year=2008|pages=701–7|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/enumerative-algebraic-geometry-of-conics|jstor=27642583|doi=10.1080/00029890.2008.11920584|access-date=2023-11-26|archive-date=2023-12-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20231201062154/https://maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/enumerative-algebraic-geometry-of-conics|dead-url=no}}

[[Category:相交理论]]
[[Category:代数几何]]