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'''Lindelöf 空間'''是每個[[开集|開]][[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]都有[[可數集|可數]]子覆蓋的[[拓扑空间|拓撲空間]]。注意[[紧空间|緊空間]]的定義為每個開覆蓋都有有限子覆蓋，因此林德勒夫空間可以視為緊空間的推廣。如果一個拓樸空間的所有子空間都是 Lindelöf 空間，那麼這個拓樸空間我們稱之為'''可傳''' '''Lindelöf 空間 (Hereditarily Lindelöf Space)''' 或'''強 Lindelöf 空間'''，但後者因為模糊且容易混淆而較少使用。

Lindelöf 空間是以芬蘭數學家 Ernst Leonard Lindelöf 的名字命名。

== Lindelöf 空間的性質 ==
* 每個緊空間，或更廣義地說，每個 σ-緊空間都是 Lindelöf 的。每個可數空間都是 Lindelöf 的。
* 一個 Lindelöf 空間是緊的若且唯若它是可數緊的。
* 每個[[第二可數空間]]都是 Lindelöf 的，反之則不然。例如，有許多緊空間並非第二可數的。
* 一個[[度量空间|度量空間]]是 Lindelöf 的若且唯若它是[[可分空间|可分]]的，並若且唯若它是第二可數的。
* 每個[[正則空間|正則]] Lindelöf 空間都是[[正规空间|正規]]且[[仿紧空间|仿緊]]的。
* 對於一個拓樸空間的可數多個 Lindelöf 子空間，其聯集是 Lindelöf 的。
* Lindelöf 空間的每個閉子空間都是 Lindelöf 的。所以每個 Lindelöf 空間中的 [[Fσ集|F<sub>σ</sub> 集]]都是 Lindelöf 的。
* Lindelöf 空間的任意子空間不一定是 Lindelöf 的。
* Lindelöf 空間的連續[[像 (數學)|像]]是 Lindelöf 的。
* Lindelöf 空間與緊空間的[[积空间|積空間]]是 Lindelöf 的。
* Lindelöf 空間與 σ-緊空間的[[积空间|積空間]]是 Lindelöf 的。這是前一個性質的推論。
* 即使是有限個 Lindelöf 空間的[[积空间|積空間]]都未必是 Lindelöf 空間，例如，[[Sorgenfrey 直線|Sorgenfrey直線]] <math>S</math> 是 Lindelöf 的，但 [[Sorgenfrey平面]] <math>S\times S</math> 並非 Lindelöf 的。
* Lindelöf 空間中，每個由非空子集組成的局部有限族最多是可數的。

== 可傳 Lindelöf 空間的性質 ==

* 一個空間是可傳 Lindelöf 的若且唯若它的每個開子空間都是 Lindelöf 的。
* 可傳 Lindelöf 空間對於取可數多聯集、子空間及連續像有封閉性。
* 一個正則 Lindelöf 空間是可傳 Lindelöf 的若且唯若它是[[完美正規空間|完美正規]]的。
* 每個[[第二可數空間]]都是可傳 Lindelöf 的。
* 每個可數空間都是可傳 Lindelöf 的。
* 每個蘇斯林空間 (Suslin space) 都是可傳 Lindelöf 的。
* 每個可傳 Lindelöf 空間的[[拉東測度]] (Radon measure) 都是 moderated<!-- 有待翻譯 -->。

== 一般化 ==
以下的定義將緊緻與 Lindelöf 一般化。如果一個拓樸空間的每個開覆蓋都有一個基數嚴格小於 <math>\kappa</math> 的子覆蓋，那麼我們稱這個拓樸空間是 <math>\kappa</math>-緊（或 <math>\kappa</math>-Lindelöf）的，其中 <math>\kappa</math> 是任意[[基数 (数学)|基數]]。根據這個定義，緊空間是 <math>\aleph_0</math>-緊的，而 Lindelöf 是 <math>\aleph_1</math>-緊的。

'''Lindelöf 度數 (Lindelöf degree)'''，或稱 Lindelöf 數 (Lindelöf number)，以 <math>l(X)</math> 表示，是使得「拓樸空間 <math>X</math> 的每個開覆蓋，都有不比 <math>\kappa</math> 大的子覆蓋」的最小基數 <math>\kappa</math>。 用符號表示即是：如果 <math>l(X)=\aleph_0</math> 那麼 <math>X</math> 是 Lindelöf 的。注意前述所定義的 Lindelöf 度數並未區分緊空間與 Lindelöf 非緊空間。有些作者用「Lindelöf 度數」表達不同的概念：使得「拓樸空間 <math>X</math> 的每個開覆蓋，都有大小嚴格地小於 <math>\kappa</math> 的子覆蓋」的最小基數 <math>\kappa</math>。對於後者（且較少使用）的這種定義而言，Lindelöf 度數是使得「一個拓樸空間 <math>X</math> 是 <math>\kappa</math>-緊」的最小基數。這樣的概念有時候也被稱為空間 <math>X</math> 的緊緻性度數 (compactness degree)。

==相關條目==
*[[可數性公理]]
*[[林德勒夫引理]]
==參考文獻==
{{refbegin}}
* Michael Gemignani, ''Elementary Topology'' (ISBN 978-0-486-66522-1) (see especially section 7.2)
* {{Cite book | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | id={{MathSciNet|id=507446}} | year=1995 | postscript=<!--None-->}}
* {{cite book | author=I. Juhász | title=Cardinal functions in topology - ten years later | publisher=Math. Centre Tracts, Amsterdam | year=1980 | isbn=90-6196-196-3}}
{{refend}}


{{点集拓扑}}

[[Category:拓扑空间性质]]