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[[File:Moebius_Surface_1_Display_Small.png|thumb|圆上所有无序点对的构型空间是[[莫比乌斯带]]。]]

[[数学]]中，'''构型空间'''（'''configuration space'''）是与物理学中的[[状态空间]]或[[相空间]]密切相关的构造，后者将整个系统的状态描述为高维空间的单点。数学中，这用于描述点集在[[拓扑空间]]中的位置分布；更具体地，数学构型空间是几个非碰撞粒子的物理[[位形空间]]的特殊例子。

== 定义 ==
对拓扑空间''X''和正整数''n''，令<math>X^n</math>为''n''份''X''的[[笛卡儿积]]，具备[[积空间|积拓扑]]。''X''的第''n''个（有序）构型空间是''X''中成对不同点的[[多元组|''n''元组]]的集合：
:<math>\operatorname{Conf}_n(X) := X^n \smallsetminus \{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in X^n \mid x_i= x_j\ \text{ for some  }i\neq j\}.</math><ref>{{cite journal |arxiv = 0806.4111|last1 = Farber|first1 = Michael|title = Topological complexity of configuration spaces|last2 = Grant|first2 = Mark|year = 2009|journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]|volume=137|issue=5|pages=1841–1847|mr=2470845|doi=10.1090/S0002-9939-08-09808-0|s2cid = 16188638}}</ref>

这空间通常赋以<math>\operatorname{Conf}_n(X)</math>到<math>X^n</math>的子空间拓扑，有时也表示为<math>F(X, n)</math>、<math>F^n(X)</math>、<math>\mathcal{C}^n(X)</math>之类。<ref name=":0" />

在<math>\operatorname{Conf}_n(X)</math>中的点上有自然的[[对称群 (n次对称群)|对称群]]<math>S_n</math>[[群作用]]：

: <math>\begin{align}
  S_n\times \operatorname{Conf}_n(X)&\longrightarrow \operatorname{Conf}_n(X) \\
  (\sigma,x)&\longmapsto \sigma(x)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots,x_{\sigma(n)}).
\end{align}</math>

此作用产生了''X''的第''n''个无序构型空间，

: <math>\operatorname{UConf}_n(X) := \operatorname{Conf}_n(X)/S_n,</math>

这是该作用的轨道空间。直觉是，这作用“遗忘了点的名字”。无序构型空间有时表为<math>\mathcal{UC}^n(X)</math>、<ref name=":0" /> <math>B_n(X)</math>、<math>C_n(X)</math>等。所有''n''上的无序构型空间集合就是[[冉空间]]（Ran space），具有自然的拓扑结构。

=== 其他公式 ===
对拓扑空间''X''和有限集''S''，用''S''标记粒子的''X''的构型空间是

: <math>\operatorname{Conf}_S(X) := \{f\mid f\colon S\hookrightarrow X\text{ is injective}\}.</math>

<math>\forall n\in\N</math>，定义<math>\mathbf{n}:=\{1,2,\ldots,n\}</math>，则''X''的第''n''个构型空间是<math>\operatorname{Conf}_{\mathbf{n}}(X)</math>，简单表示作<math>\operatorname{Conf}_n(X).</math><ref>{{Cite journal |arxiv=1612.08290|last1=Chettih|first1=Safia|title=The Homology of Configuration Spaces of Trees with Loops|journal=[[Algebraic & Geometric Topology]] |volume=18|issue=4|pages=2443–2469|last2=Lütgehetmann|first2=Daniel|year=2018|doi=10.2140/agt.2018.18.2443|s2cid=119168700}}</ref>

== 例子 ==
* <math>\mathbf{R}^2</math>中两点的有序构型空间与欧氏3维空间同圆之积[[同胚]]，即<math>\operatorname{Conf}_2(\mathbf{R}^2)\cong \mathbf{R}^3\times S^1.</math><ref name=":0" />
*更一般地，<math>\mathbf{R}^n</math>中两点的构型空间[[同伦]]于球面<math>S^{n-1}.</math><ref>{{cite arXiv|last=Sinha|first=Dev|date=2010-02-20|title=The homology of the little disks operad |page=2 |eprint=math/0610236}}</ref>
*<math>\mathbf{R}^2</math>中''n''个点的构型空间是第''n''个[[辫群]]的分类空间。

== 与辫群的联系==
{{Main|辫群}}

[[连通空间|连通]]拓扑空间''X''上的''n''股辫群是
:<math>B_n(X):=\pi_1(\operatorname{UConf}_n(X)),</math>
''X''的第''n''个无序构型空间的[[基本群]]。''X''上的''n''股纯辫群是<ref name=":0">{{Cite book|title=Braids|last=Ghrist|first=Robert|date=2009-12-01|publisher=World Scientific|isbn=9789814291408|editor-last=Berrick|editor-first=A. Jon|series=Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore|volume=19|pages=263–304|chapter=Configuration Spaces, Braids, and Robotics|doi=10.1142/9789814291415_0004|editor-last2=Cohen|editor-first2=Frederick R.|editor-last3=Hanbury|editor-first3=Elizabeth|editor-last4=Wong|editor-first4=Yan-Loi|editor-last5=Wu|editor-first5=Jie}}</ref>
:<math>P_n(X):=\pi_1(\operatorname{Conf}_n(X)).</math>

最早研究的辫群是'''阿廷辫群'''<math>B_n\cong\pi_1(\operatorname{UConf}_n(\mathbf{R}^2))</math>。虽然上述定义不是[[埃米尔·阿廷]]给出的，但[[阿道夫·胡尔维茨]]早在阿廷之前（1891）就已经隐含地将阿廷辫群定义为复平面的构型空间的基本群。<ref>{{cite book |series=[[Lecture Notes in Mathematics]] |volume=372 |first=Wilhelm |last=Magnus |author-link=Wilhelm Magnus |chapter=Braid groups: A survey |chapter-url=https://doi.org/10.1007%2FBFb0065203 |title=Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups |publisher=Springer |year=1974 |isbn=978-3-540-06845-7 |pages=465 |doi=10.1007/BFb0065203 |access-date=2023-12-01 |archive-date=2018-06-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180610131106/https://doi.org/10.1007%2FBFb0065203 |dead-url=no }}</ref>

注意<math>\operatorname{Conf}_n(\mathbf{R}^2)</math>、<math>\operatorname{UConf}_n(\mathbf{R}^2)</math>是<math>K(\pi,1)</math>型[[艾伦伯格–麦克兰恩空间]]，平面<math>\operatorname{UConf}_n(\mathbf{R}^2)</math>的无序构型空间是阿廷辫群的[[分类空间]]；<math>\operatorname{Conf}_n(\mathbf{R}^2)</math>是纯阿廷变迁的分类空间，此时两者都被视为[[离散群]]。<ref>{{Cite book|last=Arnold|first=Vladimir|author-link=Vladimir Arnold|others=Translated by [[Victor Vassiliev]]|title=Vladimir I. Arnold &mdash; Collected Works |chapter=The cohomology ring of the colored braid group |language=ru|volume=5|pages=227–231|doi=10.1007/978-3-642-31031-7_18|issn=0025-567X|mr=0242196|year=1969|isbn=978-3-642-31030-0|s2cid=122699084 }}</ref>

== 流形的构型空间 ==
若原空间''X''是[[流形]]，则其有序构型空间就是''X''的幂的开子空间，因此本身也是流形。不同无序点的构型空间也是流形，而不要求不同的无序点的构型空间则是[[轨形]]。

构型空间是一种[[分类空间]]或（精细）[[模空间]]。特别地，有通用丛<math> \pi\colon E_n\to C_n </math>，其是平凡丛<math> C_n\times X\to C_n</math>的子丛，具有这样的性质：每个点<math> p\in C_n</math>上的纤维是由''p''分类的''X''的''n''元子集。

=== 同伦不变性 ===
构型空间的同伦类型并非同伦不变。例如，空间<math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^m)</math>对任意两个不同的''m''值来说都不同伦：<math>\mathrm{Conf}_n(\mathbb{R}^0)</math>对<math>n \ge 2</math>为空，<math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb R)</math>对<math>n \ge 2</math>不连通，<math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^2)</math>为<math>K(\pi,1)</math>型[[艾伦伯格–麦克兰恩空间]]，<math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^m)</math>对<math> m \geq 3</math>来说是[[单连通]]的。

紧流形同伦等价，但其构型空间非同伦等价，这样流形的存否问题到2005年由Riccardo Longoni & Paolo Salvatore解决。他们发现的例子是两个3维[[透镜空间]]，及至少含两个点的构型空间。由后者各自的万有覆盖的[[梅西积]]可发现，它们不是同伦等价的。<ref>{{citation|title=Configuration spaces are not homotopy invariant|year=2005|last1=Salvatore|last2=Longoni|first1=Paolo|first2=Riccardo|journal=Topology|volume=44|issue=2|pages=375&ndash;380|doi=10.1016/j.top.2004.11.002|arxiv=math/0401075|s2cid=15874513}}</ref>[[单连通]]闭流形的构型空间的同伦不变性在一般情况下仍是开放的，已经证明在基域<math>\mathbf{R}</math>上成立。<ref>{{cite journal|last1=Campos|first1=Ricardo|last2=Willwacher|first2=Thomas|author-link2=Thomas Willwacher|date=2023|title=A model for configuration spaces of points|journal=Algebraic & Geometric Topology |volume=23 |issue=5 |pages=2029–2106 |doi=10.2140/agt.2023.23.2029 |arxiv=1604.02043 }}</ref><ref>{{cite journal|last=Idrissi|first=Najib|date=2016-08-29|title=The Lambrechts–Stanley Model of Configuration Spaces|url=https://archive.org/details/arxiv-1608.08054|journal=Inventiones Mathematicae|volume=216|pages=1–68|arxiv=1608.08054 |doi=10.1007/s00222-018-0842-9|bibcode=2016arXiv160808054I|s2cid=102354039}}</ref>还证明了维数至少为4的单连通紧流形（且具有单连通边界）的实同伦不变性。<ref>{{cite arXiv|last1=Campos|first1=Ricardo|last2=Idrissi|first2=Najib|last3=Lambrechts|first3=Pascal|last4=Willwacher|first4=Thomas|author-link4=Thomas Willwacher|date=2018-02-02|title=Configuration Spaces of Manifolds with Boundary|eprint=1802.00716|class=math.AT}}</ref>

== 图的构型空间 ==
有些结果与[[图 (拓扑)|图]]的构型空间有关，可能与[[机器人学]]及运动规划有联系：可以想象把几个机器人放在轨道上，并试图不碰撞地将它们导航到不同位置。轨迹对应图（的边），机器人对应粒子，成功导航对应图构型空间中的一条路径。<ref name=":1">{{citation |last=Ghrist|first=Robert|author-link=Robert Ghrist|contribution=Configuration spaces and braid groups on graphs in robotics|title= Knots, braids, and mapping class groups—papers dedicated to Joan S. Birman|pages=29–40|series= AMS/IP Stud. Adv. Math.|volume=24|publisher=[[American Mathematical Society]]|location= Providence, RI| year=2001| arxiv=math/9905023|mr=1873106|title-link=Joan Birman}}</ref>

对任意图<math>\Gamma</math>，<math>\operatorname{Conf}_n(\Gamma)</math>是<math>K(\pi,1)</math>型艾伦伯格–麦克兰恩空间<ref name=":1" />，并强[[形变收缩]]到维数为<math>b(\Gamma)</math>的[[CW复形]]，当中<math>b(\Gamma)</math>是[[度 (图论)|度]]至少为3的顶点数。 <ref name=":1" /><ref>{{Cite journal|last1=Farley|first1=Daniel|last2=Sabalka|first2=Lucas|year=2005|title=Discrete Morse theory and graph braid groups|journal=[[Algebraic & Geometric Topology]]|volume=5|issue=3|pages=1075–1109|doi=10.2140/agt.2005.5.1075|arxiv=math/0410539|mr=2171804|s2cid=119715655}}</ref>另外，<math>\operatorname{UConf}_n(\Gamma)</math>与<math>\operatorname{Conf}_n(\Gamma)</math>形变收缩到维数不大于<math>\min(n, b(\Gamma))</math>的曲率非正[[立方复形]]。<ref>{{Cite journal|last=Świątkowski|first=Jacek|year=2001|title=Estimates for homological dimension of configuration spaces of graphs|journal=Colloquium Mathematicum|language=pl|volume=89|issue=1|pages=69–79|doi=10.4064/cm89-1-5|mr=1853416 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite thesis|first=Daniel|last= Lütgehetmann| title=Configuration spaces of graphs| degree=Master’s| publisher=[[Free University of Berlin]]| location=Berlin|year= 2014}}</ref>

== 机械联动装置的构型空间 ==
还可以定义机械联动装置的构型空间，以图<math>\Gamma</math>为其底几何。通常假定这种图由刚性杆与链构成，其构型空间被定义为具有规范测度（proper metric）欧氏空间中所有可容位置的总和。一般联动装置的构型空间是光滑流形，例如对旋转关节连接的''n''根刚性杆的平凡平面联动系统，其构型空间是n维[[环面]]<math>T^n</math>。<ref>{{Cite journal|last1=Shvalb|first1=Nir|last2=Shoham|first2=Moshe|last3=Blanc|first3=David|year=2005|title=The configuration space of arachnoid mechanisms|journal=Forum Mathematicum|language=en|volume=17|issue=6|pages=1033–1042|doi=10.1515/form.2005.17.6.1033|s2cid=121995780}}</ref><ref>{{Cite book|last=Farber|first=Michael|year=2007|title=Invitation to Topological Robotics|publisher=american Mathematical Society}}</ref>
此类构型空间中最简单的奇异点是齐性二次超曲面上的圆锥与欧氏空间之积。这种奇异点见于可分为两子链的链接中，各自的端点轨迹非横断地相交，例如可对齐（align）链路（即完全折叠为一条线）。<ref>{{Cite journal|last1=Shvalb|first1=Nir|last2=Blanc|first2=David|year=2012|title=Generic singular configurations of linkages|journal=Topology and Its Applications|language=en|volume=159|issue=3|pages=877–890|doi=10.1016/j.topol.2011.12.003|doi-access=free}}</ref>

== 紧化 ==
不同点的构型空间<math>\operatorname{Conf}_n(X)</math>不是紧的，两端是汇。很多几何应用都要求紧空间，所以很有必要[[紧化]]<math>\operatorname{Conf}_n(X)</math>，即将其嵌入具有合适性质的紧空间，成为开子集。[[拉乌尔·博特]]和[[克利福德·陶布斯]]<ref>{{Cite journal |last1=Bott |first1=Raoul |author1-link=Raoul Bott|last2=Taubes |first2=Clifford |author2-link=Clifford Taubes|date=1994-10-01 |title=On the self-linking of knots |url=http://dx.doi.org/10.1063/1.530750 |journal=[[Journal of Mathematical Physics]] |volume=35 |issue=10 |pages=5247–5287 |doi=10.1063/1.530750 |issn=0022-2488}}</ref>以及[[威廉·富尔顿]]和Robert MacPherson都提出了解决这一问题的方法。<ref>{{Cite journal |last1=Fulton |first1=William |author1-link=William Fulton (mathematician)|last2=MacPherson |first2=Robert |author2-link=Robert MacPherson (mathematician)|date=January 1994 |title=A Compactification of Configuration Spaces |url=http://dx.doi.org/10.2307/2946631 |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=139 |issue=1 |pages=183 |doi=10.2307/2946631 |jstor=2946631 |issn=0003-486X}}</ref>

==另见==
{{Portal|数学}}
*[[位形空间]]
*[[量子态空间]]

== 参考文献 ==
<references/>

{{拓扑学}}

[[Category:流形]]
[[Category:拓扑学]]
[[Category:代数拓扑]]