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{{NoteTA |G1=Math}}
{{微积分学}}
{{otheruse|极限}}
'''极限'''（{{lang-en|limit}}）是[[函数]]在[[自變量]]無限變大或無限變小或在某個[[區間]]時所接近的值<ref>{{cite book |last=Stewart |first=James |author-link=James Stewart (mathematician) |year=2008 |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=[[圣智学习]] |isbn=978-0-495-01166-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref>，也是[[分析学|數學分析]]或[[微积分|微積分]]的重要基础概念，[[连续函数|连续]]和[[导数]]都是通过极限来作定义。極限分為描述一个[[序列]]的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述[[函数]]的[[自变量]]接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。

[[函数]]极限可以推广到网中，而[[数列]]的极限则与[[范畴论]]中的[[极限 (范畴论)|极限和有向极限]]密切相关。

==概念==

===数列极限===
{{Main|数列极限}}
以数列<math>a_n = \frac{1}{n}</math>为例，直觀上随着n的增大，<math>a_n</math>越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的“极限”。以下的嚴格定義來自於[[柯西]]：

设<math>\{a_n\in\mathbb{R}\}_{n\in\mathbb{N}}</math>，若對任意<math>\epsilon > 0</math>，存在<math>m\in\mathbb{N}</math>，使得当<math>n > m</math>时，有<math display="block">|a_n-a | < \epsilon</math>以邏輯符号来表示即為<math display="block">(\forall \epsilon >0)(\exists m \in \mathbb{N})(\forall n \in \mathbb{N})[\,(n > m)\Rightarrow (|a_n-a | < \epsilon)\,]</math>则称数列 <math>\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}</math> '''收敛于''' <math>a</math> ，记作 <math>\lim _{n \to \infty} a_n=a</math> 或 <math>a_n \rightarrow a</math>。這時也稱這個數列是'''收斂的'''，反之稱為'''發散'''。可以證明極限是唯一的，也就是

<math display="block">[\,(a_n\to a) \wedge (a_n \to a^{\prime})\,]\Rightarrow(a = a^{\prime})</math>

直觀地说，不論把“差距範圍”<math>\epsilon</math> 取得多小，從某項往后 <math>a_n</math> 跟 <math>a</math> 的距離都會比 <math>\epsilon</math> 小。

===函数极限===

{{Main|函數極限}}
考慮定義域為 <math>\mathbb{R}</math> ，對應規則為 <math>f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}</math> 的函數在 <math>x</math> 趋向 <math>2</math>的时候的性质。此時 <math>f</math> 於 <math>2</math> 是有定义的。

{| class="wikitable"
|f(1.9)||f(1.899)||f(1.999)||f(2)||f(2.001)||f(2.01)||f(2.1)
|-
|0.4121||0.4012||0.4001||<math>\Rightarrow</math> 0.4 <math>\Leftarrow</math>||0.3998||0.3988||0.3882
|}

当<math>x</math>趋向<math>2</math>的时候，函数值似乎趋向<math>0.4</math>，因此我们有“极限”<math>0.4</math>，正好就是 <math>f(2)</math> ，這種情況我們稱為在 <math>x = 2</math>“連續”。

但有時趨近的“極限”不會是那個[[函數值]]，考虑定義域為 <math>\mathbb{R}</math> ，對應規則為

:<math display="block">g(x)=\begin{cases} 
\dfrac{x}{x^2+1}, &x\ne2 \\
0, &  x=2 
\end{cases}</math>

的函數，那么当 <math>x</math> 趋于 <math>2</math> 的时候，<math>g(x)</math>的极限似乎与前面的 <math>f(x)</math> 相同都是<math>0.4</math>。但 <math>g(2) \ne 0.4</math>，这就是说， <math>g(x)</math> 在 <math>x = 2</math> 不连续。

有時趨近的點甚至不在定義域裡（也就是無定義），考慮到'''算式（'''本質上是一階邏輯中的[[一阶逻辑#項|'''項''']]，所以下面以冒號來代表符號辨識上的定義，而非“數字”意義上的相等）

:<math display="block"> T : \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} </math>

当 <math>x = 1</math> 时，算式 <math>T</math> 等於零除以零而没有定义。但以 <math>T</math> 有定義的最大定義域 <math>\mathbb{R}-\{1\}</math>（去除 <math>1</math> 的實數系）， 跟對應規則 <math>f(x) = T</math> 來定義的函數 <math>f</math>， 趨近於 <math>1</math> 的“极限”似乎是 <math>2</math>

{| class="wikitable"
|f(0.9)||f(0.99)||f(0.999)||f(1.0)||f(1.001)||f(1.01)||f(1.1)
|-
|1.95||1.99||1.999||<math>\Rightarrow</math> 未定义 <math>\Leftarrow</math>||2.001||2.010||2.10
|}

==== 实函数在有限处的极限 ====

若 <math>f</math> 是一个实函数（也就是[[定义域]]和[[值域]]都包含於[[实数|實數系]]），<math>L\in\mathbb{R}</math>，那么

:<math display="block"> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

用[[Ε-δ语言|ε-δ語言]]定義為：對所有的<math> \varepsilon\ >0</math>，都存在 <math> \delta\ >0</math> 使得：對任意 <math>x\in D_f</math> 满足<math>0<|x-c|< \delta\ </math>时會有<math>| f (x)-L|< \varepsilon\ </math>。以邏輯符号来表示即為

<math display="block">(\forall \epsilon >0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f)[\,( 0 < |x-c| <\delta)\Rightarrow (| f(x)-L | < \epsilon)\,]</math>

==== 实函数在无穷远处的极限 ====

与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在[[无穷]]远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为：<math>x</math>距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。因此，我们用<math>x</math>越来越大（当讨论正无穷时）来替代。

例如考虑<math>f(x) = \frac{2x}{x + 1}</math>.

: <math>f(100) = 1.9802</math>
: <math>f(1000) = 1.9980</math>
: <math>f(10000) = 1.9998</math>

当<math>x</math>非常大的时候，<math>f(x)</math>的值会趋于<math>2</math>。事实上，<math>f(x)</math>与<math>2</math>之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的<math>x</math>就可以了。此时，我们称<math>f(x)</math>趋向于（正）无穷时的极限是<math>2</math>。可以写为

:<math display="block"> \lim_{x \to \infty} f(x) = 2</math>

形式上，我们可以定义：

:<math display="block"> \lim_{x \to \infty} f(x)=L </math>
為

<math display="block">(\forall \epsilon >0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f)[\,( \delta < x)\Rightarrow (| f(x)-L | < \epsilon)\,]</math>

类似地，我们也可以定义：
:<math display="block">\lim_{x \to -\infty} f(x)=L</math>
為

<math display="block">(\forall \epsilon >0)(\exists \delta < 0)(\forall x \in D_f)[\,( x < \delta )\Rightarrow (| f(x)-L | < \epsilon)\,]</math>

== 符号 ==
极限的符号为lim，它出自拉丁文limit（界限）的前三个字母。

在1786年出版的德国人浏伊连（S. L'Huilier）的书中，第一次使用这个符号。不过，“''x''趋于''a''”当时都记作“''x''=''a''”，直到20世纪人们才逐渐用“→”替代“=”。

英国近代数学家[[戈弗雷·哈罗德·哈代|哈代]]是第一个使用现代极限符号的人。

== 性质 ==
*<math>\lim_{n \to c} S \sdot f(n) = S \sdot \lim_{n \to c} f(n)</math>，这里S是个[[內积]]算法。
*<math>\lim_{n \to c} b{f(n)} = b\,{\lim_{n \to c} f(n)}</math>，这里''b''是常量。

以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无限时才成立：
*<math>\lim_{n \to c} [ f(n) + g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} [ f(n) - g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} [ f(n) \sdot g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to c} f(n)}{\displaystyle\lim_{n \to c} g(n)}</math>

==推广==
=== 拓扑网 ===
{{main|网 (数学)}}

在引入[[网 (数学)|网]]的概念下，上述的定义可以毫无障碍地推广到任何[[拓扑空间]]。事实上，现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的，上述的例子都是拓扑空间的具体化。

=== 范畴论 ===
{{main|极限 (范畴论)}}
范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。范畴论极限分为极限与余极限（又称上极限），彼此的定义相对偶。

[[Category:极限| ]]
[[Category:收敛 (数学)]]
[[Category:实分析]]
[[Category:渐近分析]]
[[Category:微分学]]
[[Category:点集拓扑学]]

== 外部連結 ==
* {{MathWorld |title=Limit |urlname=Limit}}
* [http://www.mathwords.com/l/limit.htm Mathwords: Limit] {{Wayback|url=http://www.mathwords.com/l/limit.htm |date=20201127014505 }}

{{Authority control}}