查看“︁极限环”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
}}
{{expert|数学}}<!--希望有熟悉日语的借鉴一下日语条目 -->
[[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|稳定极限环以及相应的[[庞加莱映射]]]]

在[[数学]]中，特别是在[[动态系统]]理论里，'''极限环'''是[[相空间]]里的一条闭合的（[[周期函数|周期性]]的）[[轨迹]]，使得至少另一个轨迹会随自变量（如时间<math>t</math>）变化而逐渐逼近它（在自变量趋于正无穷或负无穷的时候）。极限环是非线性系统特有的现象，线性系统可以有[[周期函数|周期解]]（如[[简谐振动]]），但不存在极限环。在[[实数轴]]上的一维[[自治系统|自洽系统]]不存在周期解，故只有二维以上或非自洽系统才会有极限环{{sfn|Strogatz|1994|p=196}}。

稳定的极限环会导致持续振荡的情况：若一开始轨迹是极限环，则关于轨迹的任意的小扰动都会导致系统重新回到极限环的状态。故稳定的极限环是一种[[吸引子]]。

[[File:VanDerPolPhaseSpace.png|right|300px|thumb|[[范德波尔振子]]的稳定极限环。如图中所示，不同的初始状态最终都收敛到极限环。因此，这个系统能够维持逐渐减弱的振荡。]]

== 定义 ==
对一个[[动态系统]]自变量<math>t \in \mathbb{R}</math>和状态变量<math>x \in \mathbb{R}^n</math>。若该系统的解<math>x(t)</math>不经过[[平衡点]]，但存在<math>T > 0</math>使得<math>x(t)=x(t+T)</math>对任意<math>t</math>成立，则<math>x(t)</math>是一条封闭的轨道，或'''周期解'''。

如果当时间''t'' <math>\rightarrow +\infty</math> 时，所有的邻近轨迹都趋近于极限环，那么所在的流形被称为'''稳定'''的，或者称极限环是'''稳定'''的（'''吸引'''的）。反之，如果 ''t'' <math>\rightarrow +\infty</math> 时，所有的邻近轨迹都远离于极限环，那么称流形是'''不稳定'''的或者极限环是'''不稳定'''的（'''非吸引'''的）。在所有其它情况下，流形既不是稳定也不是不稳定的。

== 存在性和个数 ==
[[多项式]]型的微分方程的极限环个数是[[希尔伯特第十六问题]]第二部分的主要目标。

对于二维[[非線性系統|非线性]][[微分方程|微分方程组]]，[[本迪克森-杜拉克定理|本迪克森准则]]和[[庞加莱-本迪克松定理]]给出极限环存在（或不存在）的条件，而极限环个数或分布则是尚未得到解决的问题。

==参见==
*[[吸引子]]
*[[庞加莱映射]]
*[[杜芬振子]]
*[[洛特卡－沃尔泰拉方程]]
*[[布鲁塞尔振子]]
*[[范德波尔振荡器]]
*[[俄勒冈振子]]
* [[周期点]]
* [[稳定流形]]
* {{le|双曲集合|Hyperbolic set}}

== 参考来源 ==
{{reflist}}

==参考书目==

* {{planetmath reference|id=6722|title=极限环|urlname=limitcycle}}
* {{Cite book 
|author=Steven H. Strogatz
|title= Nonlinear Dynamics and Chaos
|publisher=Addison Wesley publishing company
|year=1994
|isbn=0-201-54344-3
|ref={{Sfnref|Strogatz|1994}}
}}
* M. Vidyasagar, "Nonlinear Systems Analysis, second edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
* Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
* Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.
* Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.
* Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.

[[Category:微分方程]]
[[Category:极限环]]