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'''极限点'''（{{lang-en|Limit point}}）在[[数学]]中是指可以被[[集合 (數學)|集合]]''S''中的点{{notetag|不包含极限点本身}}随意逼近的點。{{notetag|非正式的说法是在[[拓扑空间]] ''X'' 中的一个集合 ''S'' 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近}}

这个概念有益的推广了[[极限 (数学)|极限]]的概念，并且是諸如[[闭集]]和拓扑[[閉包 (拓撲學)|閉包]]等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的[[当且仅当]]他包含所有它的极限点，而拓扑[[閉包 (拓撲學)|闭包]]运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。{{notetag|一个有关的概念是[[序列]]的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。}}

== 定义 ==
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(X,\,\tau)</math> 为[[拓扑空间]] ， <math>A \subseteq X</math> 為<math>X</math>的子集；若對<math>X</math> 的某點<math>x \in X</math>，所有包含 <math>x</math> 的[[开集]]也有 <math>A</math> 內的非 <math>x</math> 点，即：

: <math>(x \in X)
\wedge
(\forall O \in \tau )\{(x \in O)\Rightarrow(\exists a \in O)[\,(a \in A)\wedge(a \neq x)\,]\}</math>

則稱 <math>x</math> 為 <math>A</math> 的'''极限点'''（{{Lang|en|limit point}}）。由 <math>A</math> 的所有極限點所組成的集合稱為 <math>A</math> 的[[导集|'''導集''']]（{{Lang|en|derived set}}），通常記為<math>A^{\prime}</math>，換句話說：

: <math>A^\prime
:=
\bigg\{
x\,\bigg|\,
    (x \in X)
    \wedge
    (\forall O \in \tau )\{(x \in O)\Rightarrow(\exists a \in O)[\,(a \in A)\wedge(a \neq x)\,]\}
\bigg\}</math>
}}

以上的定義來自於「總是可以找到一組<math>A</math> 內的點去逼近<math>x</math> 」的粗略想法，但一般的拓撲空間的不一定有像[[度量空间#定义|距離]]這樣的工具來比較「開集的大小」，若想以極限點嚴謹地描述「可沿著 <math>A</math> 去逼近點<math>x</math>」的話，還需要對<math>(X,\,\tau)</math>做額外的假設。

=== 特殊类型的極限點 ===
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(X,\,\tau)</math> 为[[拓扑空间]] ， <math>A \subseteq X</math> 為<math>X</math>的子集：

若包含<math>x</math>的所有开集都包含[[可數集|可數]]个<math>A</math> 的点，则稱<math>x</math>是<math>A</math>的'''{{lang|el|ω}}{{Unicode|‐}}会聚点'''（{{lang|en|ω‐accumulation point}}）。

若包含<math>x</math> 的所有开集都包含[[不可數集|不可數]]个<math>A</math>的点，则稱<math>x</math>是<math>A</math>的'''缩合点'''（{{lang|en|condensation point}}）。
}}

===度量空间的聚集点===
[[度量空间]]<math>M</math> 自然的帶有由[[度量空间#定义|度量]]<math>d: M \times M \to \R^+</math>[[度量空间#開集|生成的拓撲]] ''<math>\tau_d</math> ；''更仔細地說，是由以[[球 (数学)|開球]]為元素的[[基 (拓撲學)|拓撲基]]所生成的拓撲，也就是<math>\tau_d</math>裡的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話，就會等價於對<math>\tau_d</math>定義（因為屬於某個開球等價於屬於某開集），換句話說，對度量空間可以作如下定義：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(M,\,d)</math>是[[度量空间]] ，且 <math>A\subseteq M</math> ；若 <math>x \in M</math> ，且對所有  <math>\epsilon > 0 </math>，存在 <math>a \in A </math> 使得 <math>0 < d(x,\, a) < \epsilon </math> ，也就是

: <math>(x \in M)
\wedge
(\forall \epsilon > 0)(\exists a \in A)[\,0 < d(x,\,a) < \epsilon\,] </math>

這樣稱 <math>x</math> 是 <math>A</math>  的'''聚集点'''（cluster point）或'''会聚点'''（accumulation point）
}}

直觀上可理解為「可以用 <math>A</math> 裡的點（以度量 <math>d</math> ）無限制地逼近<math>x</math>」。應用上， <math>x</math> 為[[函數#定義域與值域|定義域]]的聚集點也是[[函數極限]]能在 <math>x</math> 上有定義的前提條件。

在[[度量空间]]中，{{lang|el|ω}}{{Unicode|‐}}会聚点与普通的极限点定义等价

== 性质 ==

* 关于极限点的性质：<math>x</math>是<math>S</math>的极限点，当且仅当它属于<math>S</math> \ {<math>x</math>}的[[闭包_(拓扑学)|闭包]]。
**''证明''：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：''x''是<math>S</math>的极限点，当且仅当所有<math>x</math>的邻域都包含一个非<math>x</math>的点属于''S''，当且仅当所有<math>x</math>的邻域含有一个点属于<math>S</math>\ {''x''}，当且仅当<math>x</math>属于<math>S \ {''x''} </math>的闭包。

* <math>S</math>的闭包具有下列性质：<math>S</math>的闭包等于<math>S</math>和其導集的[[并集]]。
**''证明''：（从左到右）设<math>x</math>属于<math>S</math>的闭包。若<math>x</math>属于''S''，命题成立。若<math>x \notin S</math>，则所有<math>x</math>的邻域都含有一个非<math>x</math>的点属于<math>S</math>；也就是说，''x''是<math>S</math>的极限点，<math>x \in S'</math>。（从右到左）设<math>x</math>属于''S''，则明显地所有<math>x</math>的邻域和<math>S</math>相交，所以<math>x</math>属于<math>S</math>的闭包。若<math>x</math>属于L(''S'')，则所有<math>x</math>的邻域都含有一个非<math>x</math>的点属于''S''，所以<math>x</math>也属于<math>S</math>的闭包。得证。

* 上述结论的推论给出了[[闭集]]的性质：集合<math>S</math>是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
**''证明1''：''S''是闭集，当且仅当<math>S</math>等于其闭包，当且仅当<math>S</math>=<math>S</math>∪ L(''S'')，当且仅当L(''S'')包含于''S''。
**''证明2''：设<math>S</math>是闭集，<math>x</math>是<math>S</math>的极限点。则<math>x</math>必须属于''S''，否则<math>S</math>的补集为<math>x</math>的开邻域，和<math>S</math>不相交。相反，设<math>S</math>包含所有它的极限点，需要证明<math>S</math>的补集是[[开集]]。设<math>x</math>属于<math>S</math>的补集。根据假设，''x''不是极限点，则存在<math>x</math>的开邻域''U''和<math>S</math>不相交，则''U''在<math>S</math>的补集中，则<math>S</math>的补集是开集。

* [[孤点]]不是任何集合的极限点。
**''证明''：若<math>x</math>是孤点，则{''x''}是只含有<math>x</math>的<math>x</math>的邻域。

* 空间<math>x</math>是[[离散空间]]，当且仅当<math>x</math>的子集都没有极限点。
**''证明''：若<math>x</math>是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若<math>x</math>不是离散空间，则单元素集合{''x''}不是开集。那么，所有{''x''}的邻域都含有点''y'' ≠ ''x''，则<math>x</math>是<math>x</math>的极限点。

* 若空间<math>x</math>有[[密着拓扑]]，且<math>S</math>是<math>x</math>的多于一个元素的子集，则<math>x</math>的所有元素都是<math>S</math>的极限点。若<math>S</math>是[[单元素集合]]，则所有<math>x</math>\<math>S</math>的点仍然是<math>S</math>的极限点。
**''说明''：只要<math>S</math>\ {''x''}非空，它的闭包就是''X''；只有当<math>S</math>是空集或<math>x</math>是<math>S</math>的唯一元素时，它的闭包才是空集。
*<math>X</math>為[[T1空間|T<sub>1</sub>空間]]，則 <math>x</math> 為<math>A \subseteq X</math> 的極限點等價於 <math>x</math> 的每個[[鄰域]]皆包含無限多個 <math>A</math> 的點。{{notetag|在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点，使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质，這樣通常會比較輕鬆。}}

==注释==
{{notefoot}}
==引用==
* {{planetmath reference|id=1240|title=limit point|urlname=limitpoint}}

{{点集拓扑}}
[[Category:不动点]]
[[Category:点集拓扑学|J]]