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{{RoughTranslation|en:Limit ordinal}}

'''极限序数'''是非零非[[后继序数]]的[[序数]]。直觉的说，有不能通过[[后继序数|后继运算]] ''S'' 触及的序数。使用严格的术语，我们称 &lambda; 是极限序数，当且仅当存在 &alpha; < &lambda; 并且对于任何 &beta; < &lambda;，存在 &gamma; 使得 &beta; < &gamma; < &lambda;。换句话说，一个序数是极限序数，当且仅当它等于其下的所有序数的[[上确界]]，但不是零。在这个上下文中的术语极限有关于在序数上的[[序拓扑]]；极限序数完全对应于在这个拓扑中的极限点。

关于 0 是否应被分类为极限序数是有争议的，因为它没有直接前驱；有些教科书包括 0 在极限序数的类中，如<ref> Thomas Jech 的《Set Theory》Third Millennium edition. Springer</ref>。而其他人排除了它，如<ref>Kenneth Kunen 的《Set Theory. An introduction to independence proofs》. North-Holland</ref>。

==例子==
因为序数的[[类 (数学)|类]]是[[良序关系|良序]]的，有最小的无限极限序数；指示为 &omega;。这个序数 &omega; 也是最小的无限序数（忽略“极限”），因为它是[[自然数]]的[[最小上界]]。所以 &omega; 表示自然数的[[序类型]]。在这第一个之上的下一个极限序数是 &omega; + &omega; = &omega;&middot;2，和接着的对于任何自然数 ''n'' 的&omega;&middot;''n''。采用所有 &omega;&middot;n 的[[并集]]（在任何的序数[[集合 (数学)|集合]]上的[[上确界]]运算），我们得到 &omega;&middot;&omega; = &omega;<sup>2</sup>。重复这个过程如下可以生成：

:<math>\omega^3, \omega^4, \ldots, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \ldots, \epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}, \ldots</math>

一般的说，通过乘法、指数、重复指数等等所有这些递归定义生成极限序数。迄今为止讨论的序数仍是[[可数集合|可数]]的序数；可以证明不存在[[递归可枚举]]方案来命名所有可数的序数。

超越可数的序数，[[首個不可數序數]]通常指示为 &omega;<sub>1</sub>。它也是极限序数。

接着你可以获得如下序数（所有这些序数在势上现在都是递增的）:

:<math>\omega_2, \omega_3, \ldots, \omega_\omega, \omega_{\omega_\omega},\ldots</math>

一般的说，在采用没有[[最大元|最大元素]]的序数集合的并集的时候我们总是得到极限序数。

== 性质 ==
后继序数和极限序数（不同的共尾）的类还有零耗尽整个序数的类，所以这些情况经常用于通过[[超限归纳法]]的证明或通过[[超限递归]]的定义。极限序数表示在这种过程中的一类“转折点”，在其中必须使用极限运算比如采用在所有前驱序数上的并集。在原理上，你在极限序数上做任何事情，但是采用并集在序拓扑中是[[连续函数|连续]]的，并且这通常是想要的。

如果我们使用[[冯·诺伊曼基数指派]]，所有无限[[基数 (数学)|基数]]也是极限序数（并且这是一个合适的观察，因为基数（cardinal）演化自拉丁语“cardo”，意味着转轴或转折点!)：这个事实的证明可简单的通过[[希尔伯特旅馆悖论|旅馆无穷]]论证来证实所有无限后继序数[[等势]]（equinumerous）于极限序数来完成。

基数有自己的后继关系和极限的概念（所有事情都会升级到更高层次!）.

==引用==
<references/>

== 参见 ==
*[[序数算术]]
*[[极限基数]]

[[Category:序数]]