查看“︁极点 (复分析)”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
}}
[[File:Gamma abs2.png|right|thumb|[[伽玛函数]]的绝对值。从左面可以看出，在极点处函数的值趋于无穷大。而在图像的右面，则没有极点。]]
[[亚纯函数]]的'''极点'''是一种特殊的[[奇点_(数学)|奇点]]，它的表现如同<math> z-a=0 </math>时<math> \frac{1}{(z-a)^n} </math>的奇点。也就是说，如果当<math> z\to a </math>时，函数<math> f(z)\to\infty </math>，那么<math> f(z) </math>在<math> z=a </math>处便具有极点。

==定义==

假设<math> U </math>  是[[复平面]]<math> \mathbb{C} </math>的[[开子集]]，<math> a </math>是<math> U </math>的一个元素，<math> f:U-\{a\}\to\mathbb{C} </math>是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数<math> g: U\to\mathbb{C} </math>和一个非负整数<math> n </math>，使得对于所有<math> U-\{a\} </math>内的<math> z </math>，都有
:<math> f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n} </math>  
那么<math> a </math>便称为<math> f </math>的极点。满足以上条件的最小整数<math> n </math>称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。

==性质==

1.函数''f''在极点''a''的极限值是<math>\infty</math>.也就是说
:<math>\lim_{z\rightarrow a}f(z)=\infty</math>

2.由性质1.可知,如果令函数
:<math>h(z)=\frac{1}{f(z)}</math>
那么代入定义可知：
:<math>h(z)=(z-a)^m \frac{1}{g(z)}</math>
其中<math>\frac{1}{g(z)}</math>在<math>z=a</math>点解析。那么有<math>z=a</math>是<math>h(z)</math>的m阶[[零点]]。

3.由于<math> g </math>是全纯函数，<math> f </math>可以表示为：

:<math>f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.</math>  

这是一个[[洛朗级数]]，它的主部分是有限的。全纯函数<math> \sum_{k\ge0}a_k(z-a)^k </math>称为<math> f </math>的正则部分。因此，点<math> a </math>是<math> f </math>的<math> n </math>阶极点，当且仅当<math> f </math>在<math> a </math>处的罗朗级数中所有低于<math> -n </math>的次数都为零，而<math> -n </math>次项不为零。

==评论==

如果函数<math> f </math>的一阶导数在<math> a </math>处具有简单极点，则<math> a </math>是<math> f </math>的一个{{le|分支点|Branch point}}，但反过来不成立。

一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为[[本性奇点]]。

除了一些孤立奇点外全纯的函数，且所有的奇点均为极点，则该函数称为[[亚纯函数]]。

==参见==
* [[零点]]
* [[留数]]

==外部链接==
* {{MathWorld | urlname= Pole | title= Pole}}
* [https://web.archive.org/web/20070217063843/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/SingularityZeroPoleMod.html 零点和极点的教程]

[[Category:复分析|J]]