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数学中，一个[[拓扑群]] ''G'' 的'''极大紧子群''' ''K'' 是一个在[[子空间拓扑]]下是[[紧空间]]的[[子群]]，且是这些子群中的[[极大元]]。

一个一般[[李群]]不一定有极大紧子群，但[[半单李群]]却一定存在，而且他们在理论中有重要地位。极大紧子群一般'''不'''是惟一的，但在相差一个[[共轭]]的意义下是惟一的——他们是[[本质惟一]]的。

==例子==
一个好例子是[[正交群]] ''O''(2)，是[[一般线性群]] ''GL''(2,'''R''') 的极大紧子群。一个相关的例子是[[循环群]] ''SO''(2)，是[[SL2(R)|''SL''(2, '''R''')]]的极大紧子群。显然 ''SO''(2) 在 ''GL''(2, '''R''') 中紧但不是极大元。非惟一性可从任何一个[[内积]]有一个相应的正交群看出来，本质惟一性对应于内积的本质惟一性。

==定义==
一个极大紧子群是紧子群种的极大群——极大（紧子群）——而不是一个[[极大子群]]如果它恰是紧群；后者也许可以称为紧（极大子群），但是任何时候都不是所想要意思（事实上极大正规子群一般都不是紧群）。

==存在和惟一==
===存在===
一个一般[[李群]]不一定有极大紧子群，但[[半单李群]]却一定存在。这是[[岩泽分解]]的一个推论，岩泽分解是一个更强的结论。

===惟一===
极大紧子群'''不'''是惟一的除非群 ''G'' 是一个紧群和可缩群的[[半直积]]。但极大紧子群差一个共轭是惟一的，也就是说任意两个极大紧子群 <math>K</math> 和 <math>L</math> 存在<ref>注意 ''g'' 不是惟一的，陪集 <math>gK</math> 中任何元素都可以。</ref>  <math>g \in G</math> 使得 <math>gKg^{-1} = L</math> ，从而一个极大紧子群是本质惟一的。故人们常直接说一个群的极大紧子群，而不指明。

非惟一性是因为给定任意 <math>h \in G</math> 且 <math>h \not\in K</math>，以 ''h'' 做共轭得到子群<math>hKh^{-1}</math> 同样是一个极大紧子群。从而 ''K'' 是惟一的[[当且仅当]] <math>hKh^{-1} = K</math>，即 ''K''是[[正规子群|正规]]的。由岩泽分解，''K'' 有一个[[截线]]（{{lang|en|transversa}}），故群  ''G'' 分裂。 

以正交群为例，任意内积定义一个（紧）正交群，以广义正交群的一个元素做共轭后对这个内积来说一般不再是正交的。

==应用==
===表示论===
当 ''G'' 不是紧群时，极大紧子群在[[群表示论|表示论]]中有着基础地位。这时极大紧子群 ''K'' 是一个[[紧子群]]（因为李群的任一闭子群都是李子群），从而可以化简理论。

同 ''G'' 和 ''K'' 的表示论相关的变换是从 ''G'' 到 ''K'' 的[[限制表示]]，以及从 ''K'' 到 ''G'' 的[[诱导表示]]，这些是很好理解的；它们的理论包含[[球函数]]。

===拓扑===
半单李群的[[代数拓扑]]性质大多由极大紧子群 ''K'' 携带。确切地说，一个半单李群是极大紧子群 ''K'' 和一个可缩空间的乘积（<math>G = K \times C</math>），特别的 ''K'' 是 ''G'' 的一个[[形变收缩]]核，''K'' [[同伦等价]]于 ''G''，从而它们有同样的[[同伦群]]。事实上，嵌入映射 <math>K \hookrightarrow G</math> 和收缩映射 <math>G \twoheadrightarrow K</math> 同论等价。

对正交群作为一般线性群的极大紧子群来说，这个分解就是 [[QR分解]]，形变收缩是[[格拉姆-施密特正交化]]过程。对一个一般的半单李群，这个分解是 ''G'' 的[[岩泽分解]] <math>G = KAN</math>，这里 ''K'' 和可缩子群 <math>AN</math> 相乘。

==注==
{{reflist|1}}

==参考文献==
* {{citation|first=Sigurdur|last=Helgason|title=Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces|publisher=Academic Press|year=1978|id=ISBN 978-0-12-338460-7}}

==另见==
*[[超特殊子群]]（{{tsl|en|Hyperspecial subgroup|Hyperspecial subgroup}}）

[[Category:拓扑群]]
[[Category:李群]]