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在[[数学]]中，特别是[[线性代数]]和[[泛函分析]]裡，一个[[矩阵]]或[[线性算子]]的'''极分解'''是一种类似于[[复数 (数学)|复数]]之[[极坐标]]分解的[[矩阵分解|分解方法]]。一个复数 ''z'' 可以用它的[[绝对值|模长]]和[[辐角]]表示为：
:<math>z = r e^{i \theta}\,</math>
其中 ''r'' 是 ''z'' 的[[绝对值|模长]]（因此是一个[[正]][[实数]]），而 <math>\theta</math> 则为 ''z'' 的辐角。

==矩阵的极分解==
一个复系数矩阵 ''A'' 的'''极分解'''将其分解成两个矩阵的乘积，可以表示为：
:<math>A = UP\,</math>
其中 ''U'' 是一个[[酉矩阵]]，''P'' 是一个[[正定矩阵|半正定的]][[埃尔米特矩阵]]。这样的分解对任意的矩阵 ''A'' 都存在。当 ''A'' 是[[逆矩阵|可逆矩阵]]时，分解是唯一的，并且 ''P'' 必然为[[正定矩阵]]。注意到：
:<math>\det A = \det P\,\det U = re^{i\theta}</math>
可以看出极分解与复数的极坐标分解的相似之处：''P'' 对应着模长（<math>|\det A| = \det P</math>），而 ''U'' 则对应着辐角部分 <math>\theta</math>（<math>\det U =e^{i \theta}</math>）。
<br />
矩阵 ''P'' 可以由
:<math>P = \sqrt{A^*A}</math>
得到，其中 ''A''* 表示矩阵 ''A'' 的[[共轭转置]]。由于 <math>A^*A</math> 为半正定的埃尔米特矩阵，它的[[矩阵的平方根|平方根]]唯一存在，所以这个式子是有意义的。而矩阵 ''U'' 可以通过表达式
:<math>U = AP^{-1}</math> 得到。

当对矩阵 ''A'' 进行[[奇异值分解]]得到 ''A = W Σ V<sup>*''</sup>后，可以因而导出其极分解：
:<math>P = V \Sigma V^*\,</math>
:<math>U = W V^*\,</math>
可以看到导出的矩阵 ''P'' 是正定矩阵，而 ''U'' 是酉矩阵。

对称地，矩阵 ''A'' 也可以被分解为：
:<math>A = P'U\,</math>
这里的 ''U'' 仍然是原来的酉矩阵，而 ''P''&prime; 则等于：
:<math>P' = UPU^{-1} = \sqrt{AA^*} = W \Sigma W^*</math>
这个分解一般被称为'''左极分解'''，而文章开头介绍的分解被称为'''右极分解'''。左极分解有时也被称为'''逆极分解'''。
<br /><br />
矩阵 ''A'' 是[[正规矩阵|正规的]][[当且仅当]] ''P''&prime; = ''P''。这时候 ''UΣ = ΣU''，并且 ''U'' 可以用与 ''Σ'' 交换的酉对称矩阵 ''S'' 进行酉对角化，这样就有 ''S U S*'' = ''Φ<sup>-1</sup>''，其中 ''Φ'' 是一个表示辐角的酉对角矩阵''e<sup>iφ</sup>''。如果设 ''Q = V S<sup>*</sup>''，那么极分解就可以被改写为：

:<math> A = (Q \Phi Q^*)(Q \Sigma Q^*),\,</math>

因此矩阵 ''A'' 有[[谱分解]]：
:<math> A = Q  \Lambda Q^* \,</math>
其中的特征值为复数，''ΛΛ<sup>*</sup> = Σ<sup>2</sup>''。

将 ''A'' 射到其极分解裡的酉部分 ''U'' 是一个从[[一般线性群]] GL(''n'','''C''') 射到[[酉群]] U(''n'') 的映射。这是一个[[同伦等价]]，因为所有正定矩阵构成的空间是一个[[可缩空间]]。实际上，U(''n'') 是 GL(''n'','''C''') 的[[极大紧子群]]。

==希尔伯特空间上的有界算子==

从复[[希尔伯特空间]]到复[[希尔伯特空间]]的[[有界线性算子]] ''A'' 的'''极分解'''，是将其正则分解为一个[[准等距变换]]和一个半正定算子的乘积。

矩阵的极分解被推广为：如果 ''A'' 是一个有界线性算子，那么可以将其唯一地分解为乘积 ''A'' = ''UP''，其中 ''U'' 是一个准等距变换，而 ''P'' 是一个半正定的自伴算子，并且 ''U'' 的定义空间覆盖 ''P'' 的像集。

==无界算子==
如果 ''A'' 是复希尔伯特空间之间的[[闭算子|闭]]稠定[[无界算子]]，那么仍然有惟一的'''极分解'''

:<math>A = U |A|\,</math>

这里 <math>|A|</math> 是一个（可能无界）非负自伴算子，与 <math>A</math> 有相同的定义域，<math>U</math> 是一个在值域 <math>\operatorname{Range}(|A|)</math> 的正交补上为 0 的[[部分等距映射]]。

用上面同样的引理，在无界算子同样一般地成立。如果 ''Dom''(''A*A'') = 
''Dom''(''B*B'') 和 ''A*Ah'' = ''B*Bh'' 对所有 ''h'' &isin; ''Dom''(''A*A'') 成立，那么存在一个部分等距 ''U'' 使得 ''A'' = ''UB''。如果 ''Ran''(''B'')<sup>&perp;</sup>&sub; ''Ker''(''U'')，则 ''U'' 是惟一的。算子 ''A'' 是闭稠定的保证了算子 ''A*A'' 是自伴的（有同样的定义域），从而我们可以定义(''A*A'')<sup>&frac12;</sup>。 利用引理便给出了极分解。

如果一个无界算子 ''A'' 是对冯·诺依曼代数 '''M'''的[[affiliated operator]]，且  ''A'' = ''UP''是其极分解，那么 ''U'' 在 ''M''中从而是 ''P'', 1<sub>''B''</sub>(''P'') 对任何 [0, &infin;) 中 Borel 集 ''B'' 的谱投影。

==应用==
[[连续介质力学]]中使用极分解来将形变分解成拉伸和旋转的部分，其中 ''P'' 表示拉伸的部分，''U'' 表示旋转的部分。

==参见==
*[[奇异值分解]]
*[[矩阵分解]]
*[[Cartan分解]]
*[[岩泽分解]]
== 参考来源 ==

*Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990

*Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. '''17''', 413-415 (1966)
{{泛函分析}}
[[Category:算子理论]]
[[Category:矩阵分解]]