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[[File:Extreme Value Theorem.svg|thumb|300px|闭区间[''a'',''b'']上的连续函数''&fnof;''(''x'')，其最大值为红色点，最小值为蓝色点。]]
在[[微积分]]中，'''极值定理'''（或'''最值定理'''<ref name=":978-7-5124-3044-0">{{cite book|author=孙玉泉 文晓 薛玉梅 苑佳 杨义川|title=工科数学分析 上|location=北京|publisher=北京航空航天大学出版社|year=2019|isbn=978-7-5124-3044-0}}</ref>{{rp|84}}）说明如果[[实函数]]''f''在[[闭区间]][''a'',''b'']上是[[连续函数]]，则它一定取得[[最大值]]和[[最小值]]，至少一次。也就是说，存在[''a'',''b'']内的''c''和''d''，使得：

:<math>f(c) \ge f(x) \ge f(d)</math>对于所有<math>x\in [a,b]</math>。

一个相关的定理是'''有界性定理'''，它说明闭区间[''a'',''b'']内的连续函数''f''在该区间上有界。也就是说，存在实数''m''和''M''，使得：

:<math>m \le f(x) \le M</math>对于所有<math>x \in [a,b]</math>。

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的[[最小上界]]就是最大值，[[最大下界]]就是最小值。

==定理的证明==

我们来证明''f'' 的[[上界]]和存在最大值。把这个结果应用于函数–''f''，也可推出''f'' 的下界和存在最小值。

我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。

===有界性定理的证明===

假设函数''f''在区间[''a'',''b'']内連續且没有上界，那么对于每一个自然数''n''，都存在[''a'',''b'']内的一个''x''<sub>''n''</sub>，使得''f''(''x''<sub>''n''</sub>) > ''n''（任定的，總之條件為真即可）。这便定义了一个[[序列]]{''x''<sub>''n''</sub>}。

由于[''a'',''b'']是有界的，根据[[波尔查诺-魏尔施特拉斯定理]]，可推出存在{''x''<sub>''n''</sub>}的一个收敛的子序列<math>\{x_{n_k}\}</math>。把它的极限记为''x''。由于[''a'',''b'']是闭区间，它一定含有''x''。因为''f''在''x''处连续，我们知道<math>\{f(x_{n_k})\}</math>收敛于实数''f''(''x'')。

但对于所有的''k''，都有<math>f(x_{n_k})>n_k\ge k</math>，这意味着<math>\{f(x_{n_k})\}</math>发散于[[无穷大]]。

前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，''f''在[''a'',''b'']内有上界。同理''f''在[''a'',''b'']内有下界。证毕。

===极值定理的证明1===
基本步骤为：
# 寻找一个序列，它的[[像 (數學)|像]]收敛于''f'' 的[[最小上界]]。
# 证明存在一个[[子序列]]，它收敛于[[定义域]]内的一个点。
# 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

我们现在证明函数''f'' 在区间[''a'',''b'']内有最大值。根据有界性定理，''f'' 有上界，因此，根据实数的[[戴德金完备性]]，''f'' 的最小上界''M''存在。我们需要寻找[''a'',''b'']内的一个''d''，使得''M'' = ''f'' (''d'')。设''n''为一个自然数。由于''M''是最小上界，''M'' – 1/''n''就不是 ''f'' 的上界。因此，存在[''a'',''b'']内的''d''<sub>''n''</sub>，使得''M'' – 1/''n'' < ''f'' (''d''<sub>''n''</sub>)。这便定义了一个序列{''d''<sub>''n''</sub>}。由于''M''是''f'' 的一个上界，即便是对于所有的''n''，我们仍有''M'' – 1/''n'' < ''f'' (''d''<sub>''n''</sub>) ≤ ''M''。因此，序列<math>\{f(d_n)\}</math>收敛于''M''。

根据[[波尔查诺-魏尔施特拉斯定理]]，可知存在一个子序列<math>\{d_{n_k}\}</math>，它收敛于某个''d''，且由于[''a'',''b'']是闭区间，<math>d\in[a,b]</math>。因为''f'' 在''d'' 处连续，所以序列<math>\{f(d_{n_k})\}</math>收敛于''f'' (''d'')。但<math>\{f(d_{n_k})\}</math>是<math>\{f(d_n)\}</math>的一个子序列，收敛于''M''，因此''M'' = ''f'' (''d'')。所以，''f'' 在''d'' 处取得最小上界''M''。证毕。

===极值定理的证明2===
<ref>{{Cite web |url=https://ocw.mit.edu/courses/18-014-calculus-with-theory-fall-2010/f7e715385a1d9981c231d12d2526a115_MIT18_014F10_ChHnotes.pdf |title=存档副本 |access-date=2022-10-16 |archive-date=2022-10-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221016163030/https://ocw.mit.edu/courses/18-014-calculus-with-theory-fall-2010/f7e715385a1d9981c231d12d2526a115_MIT18_014F10_ChHnotes.pdf |dead-url=no }}</ref>
设''M''是''f'' 在区间[''a'',''b'']上的最小上界，我们要证明存在<math>d\in[a,b]</math>使得<math>f(d)=M</math>。我们使用反证法：如若不然，对任意 <math>x\in[a,b]</math>，<math>f(x)\neq M</math>，所以，对任意的<math>x\in[a,b]</math>，<math>f(x)<M</math>。我们考虑正值的函数
:<math>g(x)=\frac1{M-f(x)}.</math>
因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于''M''是''f'' (''x'')的最小上界，所以存在 <math>x\in[a,b]</math>，使得''f'' (''x'')可以无限地接近''M''，从而''g''(''x'')是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。

注: 上面构造函数''g''(''x'')来证明最大值能在某个''d''取到的方法也在[[代数基本定理]]的基于[[刘维尔定理_(复分析)|Liouville定理]]的证明中出现。

==例子==

以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是[[闭集|闭的]]和[[有界集合|有界的]]。

# 定义在[0,∞)的函数''f''(''x'') = ''x''没有上界。
# 定义在[0,∞)的函数''f''(''x'') = ''x''/(1 + ''x'')有界，但不取得最小上界1。
# 定义在(0,1]的函数''f''(''x'') = 1/''x''没有上界。
# 定义在(0,1]的函数''f''(''x'') = 1 –''x''有界，但不取得最小上界1。

==推广到半连续函数==

如果把''f''的连续性减弱为[[半连续]]，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且[[扩展的实数轴]]上的值–∞和+∞也可以允许为可能的值。更加精确地：

'''定理：'''如果函数''f'' : [''a'',''b''] → [–∞,∞)是上半连续的，也就是说，对于[''a'',''b'']内的所有''x''，都有：

:<math>\limsup_{y\to x} f(y)\le f(x)</math>，

那么''f''有上界，且取得最小上界。

''证明：''如果对于[''a'',''b'']内的所有''x''，都有''f''(''x'') = –∞，那么最小上界也是–∞，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，''f''在''x''处的半连续性只意味着子序列<math>\{f(x_{n_k})\}</math>的[[上极限和下极限|上极限]]有上界''f''(''x'') < ∞，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，''f''在''d''处的半连续性意味着子序列<math>\{f(d_{n_k})\}</math>的上极限有上界''f''(''d'')，但这已足以推出''f''(''d'') = ''M''的结论。证毕。

把这个结果应用于&minus;''f''，可得：

'''定理：'''如果函数''f'' : [''a'',''b''] → (–∞,∞]是下半连续的，也就是说，对于[''a'',''b'']内的所有''x''，都有：

:<math>\liminf_{y\to x} f(y)\ge f(x)</math>

那么''f''有下界，且取得[[最大下界]]。

一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。

==参考文献==
{{reflist}}
* {{cite book|author=Parzynski, William R. |title=Introduction to Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/introductiontoma00parz |publisher=McGraw-Hill, Inc. |pages=[https://archive.org/details/introductiontoma00parz/page/102 102]-104 |year=1982}}
* {{cite book|author=Michael Spivak |title=Calculus|url=https://www.google.co.uk/books/edition/Calculus/7JKVu_9InRUC|publisher=Cambridge University Press|year=2006}}

==外部链接==
* {{tsl|en|cut-the-knot||cut-the-knot}}上[http://www.cut-the-knot.org/fta/fta_note.shtml 极值定理的证明] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/fta/fta_note.shtml |date=20210101142108 }}
* {{planetmath reference|id=6022|title=Boundedness Theorem|urlname=boundednesstheorem}}
* {{planetmath reference|id=6023|title=Extreme Value Theorem|urlname=extremevaluetheorem}}
* {{MathWorld |title=极值定理 |urlname=ExtremeValueTheorem}}

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[[Category:实分析定理]]