查看“︁极值”︁的源代码

{{redirect-multi|2|最大值|最小值|幾個數之中最大或最小的一個|最大與最小元}}
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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:全局; zh-tw:全域;
|2 = zh-cn:最优; zh-tw:最佳;
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{{微積分學}}
在数学中，'''极值'''（extremum）是'''极大值'''（maximum）与'''极小值'''（minimum）的统称，意指在一个[[域 (數學)|域]]上函数取得最大值或最小值的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个[[邻域]]，又可以是整个函数域（这时极值称为'''最值'''、'''全局极值'''、'''绝对极值'''）。

== 定义 ==
*'''局部（相对）最大值'''：如果存在一个''ε > 0''，使得所有满足''|x-x<sup>*</sup>| < ε''的''x''都有''f(x<sup>*</sup>)≥ f(x)''，我们就把点''x<sup>*</sup>''对应的函数值''f(x<sup>*</sup>)''称为一个[[函数]]''f''的'''局部'''最大值。从[[函数图像]]上看，局部最大值就像是山顶。
*'''局部（相对）最小值'''：如果存在一个''ε > 0''，使得所有满足''|x-x<sup>*</sup>| < ε''的''x''都有''f(x<sup>*</sup>)≤ f(x)''，我们就把点''x<sup>*</sup>''对应的函数值''f(x<sup>*</sup>)''称为一个[[函数]]''f''的'''局部'''最小值。从[[函数图像]]上看，局部最小值就像是山谷的底部。
*'''全局（绝对）最大值'''：如果点''x<sup>*</sup>''对于任何''x''都满足''f(x<sup>*</sup>)≥ f(x)''，则点''f(x<sup>*</sup>)''称为全局最大值。
*'''全局（绝对）最小值'''：如果点''x<sup>*</sup>''对于任何''x''都满足''f(x<sup>*</sup>)≤ f(x)''，则点''f(x<sup>*</sup>)''称为全局最小值。

极值的概念不仅仅限于定义在[[实数]][[体 (数学)|域]]上的函数。定义在任何[[集合 (数学)|集合]]上的实数值函数都可以讨论其最大最小值。为了定义局部极值，函数值必须为实数，同时此函数的定义域上必须能够定义[[邻域]]。邻域的概念使得在''x''的定义域上可以有''|x - x<sup>*</sup>| < ε''。

局部最大值（最小值）也被称为极值（或局部最优值），全局最大值（最小值）也被称为最值（或全局最优值）。

== 求极值的方法 ==
求全局极值是[[最优化]]方法的目的。对于一元二阶[[可导]]函数，求极值的一种方法是求[[驻点]]（亦称为静止点，停留点，{{lang-en|stationary point}}），也就是求一阶导数为零的点。如果在[[驻点]]的二阶导数为正，那么这个点就是局部最小值；如果二阶导数为负，则是局部最大值；如果为零，则还需要进一步的研究。

一般地，如果在驻点处的一阶、二阶、三阶……直到N阶导数都是零，而N+1阶导数不为零，则当N奇数且N+1阶导数为正时，该点为极小值；当N是奇数且N+1阶导数为负时，该点为极大值；如果N是偶数，则该点不是极值。

如果这个函数定义在一个有界区域内，则还要检查局域的边界点。如果函数在定义域内存在不可导点，则这些不可导点也可能是极值点。

== 例子 ==
* 函数<math>x^2</math>有惟一最小值，在''x'' = 0　处取得。
* 函数<math>x^3</math>没有最值，也没有极值，尽管其一阶导数<math>3x^2</math>在''x'' = 0处也为0。因为其二阶导数(6''x'')在该点也是0，但三阶导数不是零。
* 函数cos(''x'')有无穷多个最大值，在''x'' =0, ±2π, ±4π, ...，与无穷多个最小值　在''x'' =±π, ±3π  ... .
求函数的极值时还应当考虑其不可导点，即导数不存在的点。如函数''y=|x|''中0处的导数不存在，事实上从图像上也能看出这一点来。而且0就是该函数的一个极小值。

== 多变量函数 ==
对于多变量函数（多元函数），同样存在在极值点的概念。其定义为：
:设<math>f(P)</math>在点<math>P_0</math>某[[邻域]]<math>U(P_0)</math>内有定义，若对于所有<math>P_0</math>的[[邻域|去心邻域]]的点<math>P</math>，都有<math>f(P)<f(P_0)</math>，则称<math>P_0</math>是<math>f(P)</math>的极大值；反之，则为极小值<ref>不同文献对此定义尚未统一。在部分文献中，此定义又称“绝对极值点”，与“≥”、“≤”的定义相区别</ref>。

此外，也有[[鞍点]]的概念。

== 参见 ==
* [[机械平衡]]
* [[极值定理]]

==注脚==
{{reflist}}

[[Category:微积分]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:數學最佳化]]