查看“︁杨辉三角形”︁的源代码

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| 1 = zh-hans:系数;zh-tw:係數; zh-hk:係數;
| 2 = zh-cn:帕斯卡;zh-tw:巴斯卡;
| 3 = zh-cn:莱布尼茨;zh-hk:萊布尼茨;zh-tw:萊布尼茲;
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[[File:Jiaxian.jpg|thumb|right|300px|《[[永乐大典]]》一页：杨辉引用贾宪《释锁算书》中的贾宪三角形]]

'''杨辉-{}-三角形'''，又称'''帕斯-{}-卡三角形'''、'''賈憲三角形'''、'''海亚姆三角形'''、'''巴斯-{}-卡三角形'''<ref>{{Cite web |title=數學家小傳 |url=http://www.math.ied.edu.hk/ykman/history/Ref/maths.htm |website=www.math.ied.edu.hk |access-date=2025-03-18}}</ref>，是[[二项式系數]]的一种写法，形似[[三角形]]，在[[中国]]首现于[[南宋]][[杨辉]]的《[[詳解九章算法]]》得名，其在书中说明是引自[[贾宪]]的《[[释锁算书]]》，故又名贾宪三角形。前9行写出来如下：

<math>
\begin{array}{c}
 1 \\
 1 \quad 1 \\
 1 \quad 2 \quad 1 \\
 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\
 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\
 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\
 1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1 \\ 
 1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1 \\
 1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad10 \quad 1\\
\end{array}
</math>

杨辉三角形第 <math>n</math> 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 <math>n</math> 层即第 <math>n+1</math> 行，此处 <math>n</math> 为包含 0 在内的自然数）正好对应于[[二项式]] <math>\left(a+b\right)^{n}</math> 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 <math>\left(a+b\right)^{2}</math> 展开形式 <math>a^{2}+2ab+b^{2}</math> 的系数。

== 性質 ==
[[File:PascalTriangleAnimated2.gif|thumb|right|210px|每個數是它左上方和右上方的數的和]]
[[File:Fibonacci in Pascal triangle.png|缩略图|214x214像素|各條線穿過的數之和均為[[斐波那契數]]]]
[[File:Sierpinski Pascal triangle.svg|缩略图|用楊輝三角形做成的[[謝爾賓斯基三角形]]]]
# 楊輝三角形以正整數構成，數字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
# 楊輝三角形每一行的平方和在楊輝三角出現奇數次。
# 楊輝三角形第[[2的冪]]行所有數都是奇數{{NoteTag|亦即[[組合數]]<math>\binom{2^a-1}{b}</math>恆為奇數，其中<math>a</math>為非負整數，<math>b</math>為<math>0,1,2,3, \cdots ,(2^a-1)</math>中的某一數。}}，此為[[盧卡斯定理]]的特殊情況。
# 第 <math>n</math> 行的数字个数为 <math>n</math> 个。
# 第 <math>n</math> 行的第 <math>k</math> 個數字為[[組合數]] <math>C_{k-1}^{n-1}</math>。
# 第 <math>n</math> 行数字和为 <math>2^{n-1}</math>，因為第 <math>n</math> 行是 <math>\left(1+1\right)^{n-1}</math> 的二項展開。
# 第 <math>n</math> 行的数字按順序寫下所形成的數字为 <math>11^{n-1}</math>，因為該數字是 <math>\left(10+1\right)^{n-1}</math> 的二項展開。例如第二行 <math>11=11^1</math> ，第三行 <math>121=11^2</math>，第四行 <math>1331=11^3</math>，第五行 <math>14641=11^4</math>，第六行 <math>161051=11^5</math>（第六行之後需進位）。該規律可推廣至任何[[进位制|進位制]]，例如在[[九進制]]下：<math>121_9=100_{10}</math>，<math>1331_9=1000_{10}</math>。
# 除每行最左側與最右側的數字以外，每个数字等于它的左上方與右上方两个数字之和（也就是說，第 <math>n</math> 行第 <math>k</math> 個數字等於第 <math>n-1</math> 行的第 <math>k-1</math> 個數字與第 <math>k</math> 個數字的和）。這是因为有組合恒等式：<math>C_{n+1}^{k+1}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}</math>。可用此性质写出整个楊輝三角形。
# 如果 <math>n</math> 為[[質數]]，則第 <math>\left(n+1\right)</math> 行的數中除了兩端的1以外均為 <math>n</math> 的整數倍數。若 <math>n</math> 為[[合數]]則不然。{{NoteTag|考慮[[二項式係數]]<math>\binom{p}{n}=\frac{p!}{n!(p-n)!}</math>，並限定n不為p或0，則由於分子有質數p，但分母不含p，故分子的p能保留，不被約分而除去，即<math>\binom{p}{n}</math>恆為p的倍數<ref>{{Cite web|title=How is (x+y)^p≡x^p+y^p mod p for any prime number p|url=https://math.stackexchange.com/questions/2932541/how-is-xyp-equiv-xp-yp-mod-p-for-any-prime-number-p|accessdate=2021-04-26|author=|date=2018-09-27|work=Mathematics Stack Exchange|language=en|archive-date=2022-03-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20220325061225/https://math.stackexchange.com/questions/2932541/how-is-xyp-equiv-xp-yp-mod-p-for-any-prime-number-p|dead-url=no}}</ref>。另見[[中一新生之夢]]。}}
# 按照該三角形的斜邊以及與之平行的斜線上的數所形成的數列為第 <math>\left(n-1\right)</math> [[維度]]的[[單純形]]數。即第一列全為1（0維），第二列為[[自然數]]形成的數列，第三列為[[三角形數]]形成的數列，第四列為[[四面體數]]形成的數列，第五列為[[五胞體數]]形成的數列，以此類推。
# 第 <math>p</math> 行（第 <math>n</math> 層）的所有的數的平方和為第 <math>\left(2p-1\right)</math> 行（第 <math>2n</math> 層）正中央的數字。可用該式得出 <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}</math>。例如第五行（第四層）所有的數的平方和 <math>1^2+4^2+6^2+4^2+1^2=70</math> 是第九行（第八層）正中央的數字。
# 將三角形左端對齊之後，沿右斜45度的對角線方向（不改變三角形形狀的話則需要按照[[中國象棋]]的[[馬 (中國象棋)|馬]]的走法）取得的數之和為[[斐波那契數]]。
# 將第奇數行正中央的數減去其左側（或右側）第二個數，得到的差為[[卡塔蘭數]]。
# 將楊輝三角形中所有的奇數與所有的偶數以不同顏色塗色的話，可以形成一個類似[[謝爾賓斯基三角形]]的圖形。

== 歷史 ==

[[File:Meru Prastaara.png|thumb|印度手稿中使用的 Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार)，源自[[賓伽羅 ]]的公式。拉古纳特图书馆J&K手稿；公元755年<!--Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार) as used in Indian manuscripts, derived from [[Pingala]]'s formulae. Manuscript from Raghunath Library J&K; 755 AD-->]]

[[File:Yanghui triangle.gif|thumb|right|230px|朱世杰《四元玉鉴》中的「古法七乘方圖」]]

[[波斯]]數學家[[Al-Karaji]]和天文學家兼詩人[[欧玛尔·海亚姆]]（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世紀都發現了這個三角形，而且還知道可以借助這個三角形找<math>n</math>次根，和它跟二项式的關係。但他们的著作已佚失。<ref>Victor J. Katz, editor, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, A Sourcebook. Page 518, Princeton University Press 2007.</ref>

11世纪北宋数学家[[贾宪]]发明了[[贾宪三角]]，并发明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表（古代称数字表为“立成”）的构造进行描述。<ref>郭书春著 《中国科学技术史·数学卷》第十五章 《唐中叶至元中叶熟悉概论》第357页 ''（贾宪）创造《开发作法本源》即贾宪三角'' 科学出版社 2010</ref>贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。

13世纪中国南宋数学家[[杨辉]]在《详解九章算术》里解释这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半[[贾宪]]的《释锁算术》<ref>《[[永乐大典]]》卷一万六千三百四十四</ref>。

1303年元代数学家[[朱世杰]]在《[[四元玉鉴]]》卷首绘制《古法七乘方图》<ref>朱世杰 原著 李兆华校证 《四元玉鉴校证》卷首《古法七乘方图》 第58页 科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6</ref>。

[[意大利]]人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的[[塔塔利亞]]。

[[布萊士·帕斯卡]]的著作''Traité du triangle arithmétique''（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些[[概率論]]上的問題，影响面广泛，[[皮埃尔·雷蒙·德蒙莫尔]]（1708年）和[[亞伯拉罕·棣莫弗]]（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：
* Karaji 和 欧玛尔·海亚姆 波斯 10世紀（图文无存）
* 賈憲 中國北宋 11世纪 《释锁算术》 （图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
* 杨辉 中國南宋 1261《详解九章算法》记载之功（图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
* 朱世杰 中國元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
* 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》（现存图文）
* 阿皮亚纳斯 德国 1527
* 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
* 薛贝尔 法国 1545
* B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

===中国数学家的研究===
中国贾宪是'''贾宪三角'''的发明人，贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”，[[朱世杰]]称之为“古法七乘方图”（1303年），明代数学家[[吴敬]]《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”（1450年）；明[[王文素]]《[[算学宝鉴]]》称之为“开方本源图”（1524年）；明代[[程大位]]《[[算法统宗]]》称之为“开方求廉率作法本源图”（1592年）。
清代[[梅文鼎]]《少广拾遗》称之为“七乘府算法”（1692年）；清代[[孔广森]]《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”；[[焦循]]《加减乘除释》称之为“古开方本原图”；[[刘衡]]《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”；[[项名达]]《象数一原》称之为“递加图”。[[伟烈亚力]]《数学启蒙》称之为“倍廉法表”；[[李善兰]]《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家[[李俨 (现代学者)|李俨]]称之为“巴斯噶三角形”，但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。<ref>李俨 《中算家的巴斯噶三角形研究》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷6，215-230页</ref>。著名数学家[[华罗庚]]，在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》<ref>华罗庚著 《从杨辉三角谈起》 《数学通报丛书》科学出版社  1956年10月</ref>，将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”，首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下；此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之<ref>郭书春 《中国科学技术史·数学卷》422页 第十八章第二节 《贾宪三角》，科学出版社 2010</ref>。另一方面，专业的中国数学史著作，都用“贾宪三角”这个称呼。<ref>吴文俊主编 《[[中国数学史大系]]》第五卷 704页</ref><ref>郭书春 《中国科学技术史·数学卷》 第十八章第二节 《贾宪三角》，科学出版社 2010</ref>。

== 一個數在杨辉三角出現的次數 ==
由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為：[[∞]],1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （[[OEIS:A003016]]）。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （[[OEIS:A062527]]）
* 除了1之外，所有正整數都出現有限次。
* 只有2出現剛好一次。
* 6,20,70等出現三次。
* 出現兩次和四次的數很多。
* 還未能找到出現剛好五次或七次的數。
* [[120]],[[210]],1540等出現剛好六次。（[[OEIS:A098565]]）
** 因為[[丟番圖方程]]<br /><math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2},</math><br />有無窮個解<ref name="singmaster1975">Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.</ref>，所以出現至少六次的數有無窮多個。
** 其解答，是
:: <math>n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,\,</math><br /><math>k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,\,</math>
** 其中<math>F_n</math>表示第<math>n</math>個斐波那契數（<math>F_1 = F_2 = 1</math>）。
* 3003是第一個出現八次的數。

== 註釋 ==
{{NoteFoot}}

== 参考文献 ==
{{Reflist|2}}

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20090828093418/http://www5.chhs.tp.edu.tw/teacher/083/mathweb/school/pascal-triange.htm 巴斯卡三角形]

== 参见 ==
{{Portal box|数学|中国数学史}}
* [[贾宪]]、[[杨辉]]
* [[莱布尼茨三角形]]

{{-}}
{{中国数学史}}
{{Authority control}}

[[Category:组合数学]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]