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在[[数学]]上，'''楊氏不等式'''，指出：假设<math>a</math>, <math>b</math>, <math>p</math>和<math>q</math>是正[[实数]] ，且有<math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math>，那么：

:<math>ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.</math>

:[[等号]]成立当且仅当<math>a^p = b^q</math> ，因为这时<math>ab = a(b^q)^{1 \over q} = aa^{p \over q} = a^p = {a^p \over p} + {b^q \over q}</math>。

楊氏不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，也是证明[[赫爾德不等式]]的一个快捷方法。该不等式以{{le|威廉·亨利·杨|William Henry Young}}命名。

== 证明 ==

我们知道函数<math>f(x) = e^x</math>是一个[[凸函数]]， 因为它的二阶[[导数]]恒为正。 从而我们有：

:<math>ab = e^{\ln(a)}e^{\ln(b)} = e^{{1 \over p}\ln(a^p) + {1 \over q}\ln(b^q)} \le {1 \over p}e^{\ln(a^p)}+{1 \over q}e^{\ln(b^q)} = {a^p \over p} + {b^q \over q}</math>

这里我们使用了凸函数的一个性质：对任意 <math>t</math> ，若 <math>0<t<1</math>，则有：

:<math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)</math>

==推广==
设<math>\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>是一个[[连续函数|连续]]、严格[[递增函数]]且 <math>\phi(0)=0</math> 。那么下面的不等式成立：
:<math> ab \leq \int_{0}^a \phi(x) dx + \int_{0}^b \phi^{-1}(y) dy </math>

观察<math>\phi(x)</math>的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由<math>a</math>和<math>b</math>组成的矩形的面积大。

==参考来源== 

*{{ cite journal zh| title = Young不等式在Lp空间中的应用 | author = 邢家省 |date = 2007年 第3期 |volume = 第20卷| journal = 聊城大学学报（自然科学版） | issn = 1672-6634(2007)03-0019-04| accessdate = 2009-10-27 }}
*{{ cite journal zh| title = Young不等式的证明及应用 | author = 张愿章 | date = 2004年 第01期  | volume=第22卷  | journal = 河南科学 | issn = 1004-3918(2004)01-0023-07 | accessdate = 2009-10-27 }}

[[category:代数不等式]]