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{{noteTA
|T=zh-tw:條件機率分布;zh-cn:条件概率分布
|1= zh-cn: 边缘;zh-tw:邊際
|2= zh-cn: 概率;zh-tw:機率
|3= zh-cn: 变量;zh-tw:變數;zh-hk:變量
|4=zh-cn方差: ;zh-tw:變異數
|5=zh-cn: ;zh-tw:
|6=zh-cn: 参数;zh-tw:母數
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'''条件概率分布'''（'''Conditional Probability Distribution'''，或者 '''条件分布'''，'''Conditional Distribution''' ）是现代[[概率论]]中的概念。已知两个相关的[[随机变量]]''X'' 和''Y''，随机变量''Y'' 在条件{''X'' =x}下的条件概率分布是指当已知''X'' 的取值为某个特定值''x''之时，''Y'' 的[[概率分布]]。 如果''Y'' 在条件{''X'' =x}下的条件概率分布是连续分布，那么其[[概率密度函数|密度函数]]称作''Y'' 在条件{''X'' =x}下的'''条件概率密度函数'''（'''条件分布密度'''、'''条件密度函数'''）。与条件分布有关的概念，常常以“条件”作为前缀，如[[条件期望]]、[[条件方差]]等等。

==例子==
[[File:Luck with dice.jpg|thumb|right|290px|如果骰子一侧是6点，朝上的可能是4点，但不可能是6点或1点。]]
假设在桌子上抛掷一枚普通的骰子，则其点数结果的概率分布是集合<math>\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>的[[均匀分布]]：每个点数出现的概率都是均等的六分之一。然而，如果据某个坐在桌边的人观察，向着他的侧面是6点，那么，在此条件下，向上的一面不可能是6点，也不可能是6点对面的1点。因此，在此条件下，抛骰子的点数结果是集合<math>\{ 2, 3, 4, 5\}</math>的均匀分布：有四分之一的可能性出现<math>2, 3, 4, 5</math>四种点数中的一种。可以看出，增加的条件或信息量（某个侧面是6点）导致了点数结果的概率分布的变化。这个新的概率分布就是条件概率分布。

==数学定义==
更为严格清晰的定义需要用到数学语言。当随机变量是离散或连续时，条件概率分布有不同的表达方法。

===离散条件分布===
对于离散型的随机变量''X'' 和''Y''（取值范围分别是<math>\mathcal{I}</math>和<math>\mathcal{J}</math>），随机变量''Y'' 在条件{''X'' =x}下的条件概率分布是：
:<math>\forall j \in \mathcal{J}, \quad p_{Y\mid X}(j)= p_Y(j \mid X = i)=P(Y = j \mid X = i) = \frac{P(X=i ,Y=j)}{P(X=i)}.</math> （<math>P(X=i)>0</math>）
同样的，''X'' 在条件{''Y''=y}下的条件概率分布是：
:<math>\forall i \in \mathcal{I}, \quad p_{X\mid Y}(i)= p_X(i \mid Y= j)=P(X = i \mid Y = j ) = \frac{P(X=i ,Y=j)}{P(Y=j)}.</math> （<math>P(Y=j)>0</math>）
其中，<math>P(X=i ,Y=j)</math>是''X'' 和''Y'' 联合分布概率，即“<math>X=i</math>，并且<math>Y=j</math>发生的概率”。如果用<math>p_{ij}</math>表示<math>P(X=i ,Y=j)</math>的值：
<math>P(X=i ,Y=j) = p_{ij}</math>
那么[[随机变量]]''X'' 和''Y'' 的[[边际分布]]就是：
:<math>P(X=i) = p_{i.} = \sum_{j \in \mathcal{J} } p_{ij}</math>
:<math>P(Y=j) = p_{. j} = \sum_{i \in \mathcal{I} } p_{ij}</math>
因此， 随机变量''Y'' 在条件{''X'' =x}下的条件概率分布也可以表达为：
:<math>p_{Y\mid X}(j) = P(Y = j \mid X = i) = \frac{p_{ij}}{ p_{i .} }.</math>（<math>p_{i .}>0</math>）
同样的，''X'' 在条件{''Y''=y}下的条件概率分布也可以表达为：
:<math>p_{X\mid Y}(i)= \frac{p_{ij}}{ p_{.j} }.</math>（<math>p_{. j}>0</math>）

===连续条件分布===
对于连续型的随机变量''X'' 和''Y''，<math>P(X=i)=P(Y=j)=0</math>，因此对离散型随机变量的条件分布定义不适用。假设其联合密度函数为<math>f(x,y)</math>，''X'' 和''Y'' 的边际密度函数分别是<math>f_X(x)</math>和<math>f_Y(y)</math>，那么''Y'' 在条件{''X'' =x}下的条件概率密度函数是：
:<math>f_{Y|X}(y|x) = f_Y(y \mid X=x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}.</math>
同样的，''X'' 在条件{''Y''=y}下的条件概率密度函数是：
:<math>f_{X|Y}(x|y) = f_X(x \mid Y=y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.</math>

==条件分布和独立分布==
在一定意义上，条件分布和独立分布是相对的。如果两个随机变量''X'' 和''Y'' 是独立分布的，那么不论是否已知某个关于''X'' 的条件，都不会影响''Y'' 的概率分布。用数学语言来说，就是：
; <math>P(Y = y  \mid X = x) = P(Y=y) = p_Y(y)</math>
这与独立分布的定义是相合的，事实上，随机变量''X'' 和''Y'' 相互独立分布，则：
; <math>P(Y = y , X = x) = P(Y=y) \cdot P(X = x).</math>
因此
; <math> P(Y=y) = \frac{P(Y = y , X = x)}{ P(X = x)} = P(Y = y \mid X = x) .</math>

== 参见 ==
*[[条件概率]]
*[[正则条件概率]]

==参考资料==
*{{cite book | title = 《概率论与数理统计》 | author = 赵衡秀 | year =2005 | publisher = 清华大学出版社 }}

{{Authority control}}
[[Category:條件機率]]
[[Category:概率分布]]