查看“︁条件数”︁的源代码

[[数值分析]]中，一个问题的'''条件数'''是该数量在数值计算中的容易程度的衡量，也就是该问题的[[适定性]]。一个低条件数的问题称为'''良置'''的，而高条件数的问题称为'''[[病态 (数学)|病态]]'''（或者说非良置）的。

==矩阵条件数==

例如，[[线性方程]]<math>Ax = b</math>的条件数给出了数值求解得到一个解<math>x</math>有多不精确的一个上限。

条件数也会增大<math>b</math>中存在的误差。这个放大的程度可以使得一个低条件数的系统（通常是件好事情）变得不精确而使得一个高条件数的系统（通常是件坏事情）变得精确，这取决于<math>b</math>的数据知道得多清楚。对于这个问题，条件数定义为

:<math>\Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert</math>,

在任何自洽的[[矩阵范数]]中。这个数字经常在数值[[线性代数]]中出现，因而单独有个名字，称为'''矩阵条件数'''：

:<math>\kappa (A) = \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert.</math><ref>{{Cite web|url=https://max.book118.com/html/2015/0310/13153791.shtm|title=数值分析(李庆扬、王能超、易大义)(超清晰版）.pdf 全文-综合-文档在线|accessdate=2018-01-06|work=max.book118.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20180106173447/https://max.book118.com/html/2015/0310/13153791.shtm|archive-date=2018-01-06|dead-url=yes}}</ref>

当然，这个定义依赖于范数的选取。

* 若<math>\|\cdot\|</math> 是 <math> l_2</math> [[矩阵范数]]则
:<math>\kappa(A) = \frac{\sigma_{max}(A)}{\sigma_{min}(A)}</math> 其中<math>\sigma_{max}(A)</math>和<math>\sigma_{min}(A)</math>分别是<math>A</math>的极大和极小[[奇异值]]。因此
:* 若<math>A</math>是[[正规矩阵]]则
::<math>\kappa(A) = \left|\frac{\lambda_{max}(A)}{\lambda_{min}(A)}\right|</math> (<math>\lambda_{max}(A),\ \lambda_{min}(A)</math>分别是<math>A</math>的极大和极小（根据模数）[[特征值]]）
:* 若<math>A</math>是[[酉矩阵]]则
::<math>\kappa(A) = 1</math>
* 若 <math>\|\cdot\|</math>是<math> l_{\infty}</math> [[矩阵范数]]而<math>A</math>是[[三角矩阵|下三角矩阵]]，非奇异（也即<math> a_{ii} \ne 0 \; \forall i</math>）则：<math>\kappa(A) \geq \frac{\max_i(|a_{ii}|)}{\min_i(|a_{ii}|)}</math>

==其它意义下的条件数==

[[奇异值分解]]，多项式求根，[[特征值]]和其它许多问题的条件数也可以有定义。

通常，如果一个数值问题是适定的，它可以表达为一个函数<math>f</math>映射它的数据（一个实数的<math>m</math>元组<math>x</math>）到它的解（一个实数的<math>n</math>元组<math>y</math>）。

它的条件数则定义为解中的[[逼近误差|相对误差]]的半径和数据中的[[相对误差]]的比的最大值，取遍整个问题的定义域：

:<math>\max \left\{ \left| \frac{f(x) - f(x^*)}{f(x)} \right| \left/ \left| \frac{x - x^*}{x} \right| \right. : |x - x^*| < \epsilon \right\}</math>

其中<math>\epsilon</math>是问题中的数据的偏差的某个合理的小数值。

如果<math>f</math>也是可微的，这可以近似的表示为

:<math>\left| \frac{ f'(x) }{ f(x) } \right|. \left| x \right| </math>.
==參考資料==
{{Reflist}}
[[Category:数值分析]]
[[Category:数值线性代数]]