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[[File:Forced Duffing equation Poincaré section.png|thumb|受驱的杜芬方程的[[庞加莱映射|庞加莱截面]]表明混沌行为。]]

'''杜芬振子'''（{{lang-en|Duffing  oscillator}}）是一个描写受驱振动的振动子，由非线性微分方程表示<ref>Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics, p209-217, Birkhauser,1997</ref>

[[杜芬方程]]列式如下：

<math>\frac{d^2 x(t)}{d t^2}+2\gamma\frac{d x(t)}{d t}+\alpha*x(t)+\beta*x(t)^3=\delta*cos(\omega*t)</math>

其中
* γ控制阻尼度
* α控制韧度
* β控制动力的非线性度
* δ驱动力的振幅
* ω驱动力的圆频率

==数值解==
杜芬方程没有解析解，但可用[[龙格－库塔法]]求得数值解。

当γ>0，杜芬振子呈现极限环振动；
[[File:Duffing oscillator limit cycle.gif|thumb|center|600px|Duffing oscillator limit cycle]]
[[File:Duffing oscillator limit cycle phase animation.gif|thumb|center|600px|Duffing oscillator limit cycle phase animation]]



当γ<0，系统进入混沌态，相图呈吸引子形态。
[[File:Duffing oscillator chaos.gif|thumb|600px|center|Duffing oscillator chaos]]
[[File:Duffing oscillator attractors animation.gif|thumb|center|600px|Duffing oscillator attractors animation]]

==参考文献==
<references/>

==外部链接==
*{{En}}[http://www.scholarpedia.org/article/Duffing_oscillator 杜芬振子] {{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Duffing_oscillator |date=20201205054731 }}
*{{En}}[http://physics.ucsc.edu/~peter/115/duffing.pdf  杜芬方程] {{Wayback|url=http://physics.ucsc.edu/~peter/115/duffing.pdf |date=20181222103102 }}

{{吸引子}}
{{极限环}}
{{混沌理论}}

[[category:非线性常微分方程]]
[[Category:混沌理论]]
[[Category:极限环]]