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在[[振动]]理论中，'''杜哈梅积分'''（Duhamel's integral）是求解[[线性系统]]在任意外载激励下[[响应]]的一种方法。

==概要介绍==
===问题背景===
受随时间变化的外载''p''(''t'')和粘性[[阻尼]]作用下的线性[[单自由度系统|单自由度（SDF）系统]]的[[运动方程]]是一个二阶[[常微分方程]]，可写为
:<math>m\frac{{d^2 x(t)}}{{dt^2 }} + c\frac{{dx(t)}}{{dt}} + kx(t) = p(t)</math>
其中''m''为等效振子的质量，''x''代表系统振幅，''t''代表时间，''c''是粘性阻尼系数，''k''是系统[[刚度]]。

若初始静止于平衡位置的系统在''t''=0时刻受到一个单位冲击载荷作用，即''p''(''t'')是一个[[狄拉克δ函数]]''δ''(''t'')，<math>x(0) = \left. {\frac{{dx}}{{dt}}} \right|_{t = 0} = 0</math>，可以解得系统响应（称为''单位脉冲响应函数''）为
:<math>h(t)=\begin{cases} \frac{1}{{m\omega _d }}e^{ - \varsigma \omega _n t} \sin \omega _d t, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}</math>
其中<math>\varsigma  = \frac{c}{{2m\omega _n }}</math>称为系统的[[阻尼比]]，<math>\omega _n</math>是系统在无阻尼状态下振动的[[固有圆频率]]，<math>\omega _d  = \omega _n \sqrt {1 - \varsigma ^2 } </math>是系统在当前存在的阻尼''c''作用下的实际振动[[圆频率]]。推广到任意时刻''τ''时受到冲击载荷<math>\delta (t - \tau )</math>作用的脉冲响应为
:<math>h(t - \tau ) = \frac{1}{{m\omega _d }}e^{ - \varsigma \omega _n (t - \tau )} \sin [\omega _d (t - \tau )]</math>，<math>t \ge \tau </math>

===结论导出===
将任意载荷''p''(''t'')视为一系列脉冲激励的[[迭加]]：
:<math>p(t) \approx \sum {p(\tau ) \cdot \Delta \tau  \cdot \delta } (t - \tau )</math>
那么根据线性性质可知，系统的响应同样可以表示成对这一系列脉冲激励的[[响应函数]]的[[迭加]]：
:<math>x(t) \approx \sum {p(\tau ) \cdot \Delta \tau  \cdot h} (t - \tau )</math>
在<math>\Delta \tau  \to 0</math>时，连续求和转化为[[积分]]，此时上面的等式是严格成立的
:<math>x(t) = \int_0^t {p(\tau )h(t - \tau )d\tau } </math>
将''h''(''t''-''τ'')的表达式代入即得杜哈梅积分的一般形式：
:<math>x(t) = \frac{1}{{m\omega _d }}\int_0^t {p(\tau )e^{ - \varsigma \omega _n (t - \tau )} \sin [\omega _d (t - \tau )]d\tau }</math>

==参考文献==
* 倪振华 编著，《振动力学》，西安交通大学出版社，西安，1990
* R. W. Clough, J. Penzien, ''Dynamics of Structures'', Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津 著，王光远等 译，《结构动力学》，科学出版社，北京，1981）
* Anil K. Chopra, ''Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering'', Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
* Leonard Meirovitch, ''Elements of Vibration Analysis'', Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986


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