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[[File:StabilityHS.svg|thumb|183px|當啟始點在區域V內，而軌跡均維持在區域U內（在<math>x_0</math> 附近），則系統在<math>x_0</math>處為李雅普诺夫稳定]]

在[[数学]]和[[自动控制]]领域中，'''李雅普诺夫稳定性'''（{{lang-en|'''Lyapunov stability'''}}，或'''李亞普诺夫稳定性'''）可用來描述一個[[动力系统]]的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 <math>x_0</math> 附近的軌跡均能維持在 <math>x_0</math> 附近，那么该系统可以称为在<math>x_0</math>處'''李雅普诺夫稳定'''。

若任何初始條件在 <math>x_0</math> 附近的軌跡最後都趨近<math>x_0</math>，那么该系统可以称为在<math>x_0</math>處'''[[渐进稳定|漸近稳定]]'''。[[指數穩定]]可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。
<ref>{{Cite book en|author=Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li|title=Applied Nonlinear Control|publisher=Prentice Hall|year=1991|id=ISBN 978-0-13-040890-7}}</ref>

李雅普诺夫稳定性可用在[[線性]]及[[非線性]]的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的[[流形]]，即為{{le|結構穩定性|Structural stability}}，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。[[輸入-狀態穩定性]]（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。

==历史==
这一稳定性以俄国数学家[[亚历山大·李亚普诺夫]]命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考慮到針對非线性系统修改稳定理论，修正為以一個稳定点线性化的系統為基礎的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在[[冷战]]初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天[[制导系统]]的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近{{来源请求||time=2023-03-15}}[[李雅普诺夫指数]]的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与[[混沌理论]]结合了起来。

==連續時間系統下的定義==
给定一个[[完备空间|完备]]的[[賦範向量空間]]{{mvar|E}}（例如<math>\mathbb{R}^n</math>），设{{mvar|U}}是{{mvar|E}}的[[开集|開]][[子集]]。考慮一個[[自治系統 (數學)|自治]]的非线性[[动力系统]]：
::<math>\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(t_0) = x_0</math>,
其中<math>x(t) \in U </math>是系統的[[状态空间|狀態]][[向量]]，<math>f: U \rightarrow E</math>是{{mvar|U}}上的[[连续函数]]。

假设函数{{mvar|f}}有一个零点：{{math|''f''(''a'') {{=}} }}0，则常数函数：{{mvar|x {{=}} a}}是动力系统的'''驻定解'''（或称'''平衡解'''）。称{{mvar|a}}是动力系统的[[不动点|平衡點]]。

# 称點{{mvar|a}}'''李雅普诺夫稳定'''（简称'''稳定'''），如果對每個<math>\epsilon > 0</math>，均存在<math>\delta = \delta(\epsilon) > 0</math>，使得对所有满足<math>\|x_0 - a\| < \delta</math>的<math>x_0</math>，只要<math>t \geqslant t_0</math>，就有<math>\|x(t)-a\| < \epsilon</math>。
# 称點{{mvar|a}}'''漸近稳定'''，如果點{{mvar|a}}李雅普诺夫稳定，且存在<math>\delta > 0</math>，使得对所有满足 <math>\|x_0 - a\| < \delta</math> 的<math>x_0</math>，<math>\lim_{t \rightarrow \infty}x(t) = a</math>。
# 称點{{mvar|a}}'''指數稳定'''，如果點{{mvar|a}}漸近稳定，且存在 <math>\alpha, \beta, \delta >0</math> 使得对所有满足<math>\|x_0 - a\| < \delta</math>的<math>x_0</math>，只要<math>t \geqslant t_0</math>，就有<math>\|x(t) - a\| \leq \alpha\|x_0 - a\|e^{-\beta t}</math>。

它们的直观几何意义是：

# 平衡點為李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值「足夠接近」平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的范围里（距平衡點的距離不超過任意选择的正实数 <math>\epsilon</math>）。
# 漸近稳定的意思是，初值足夠接近平衡點的状态函数，不但維持在平衡點附近，而且最後會收敛到平衡點。
# 指數稳定的意思是，状态函数不但最後會收敛到平衡點，且收敛速度不慢於某种[[指数函数|指数]]递减的速度。

设有状态函数{{mvar|x}}，其初始取值为<math>x(t_0) = x_0</math>。称<math>\bar{x} = \{ x(t); \; t \geqslant t_0 \}</math>为{{mvar|x}}的轨迹。如果對所有初始值与{{mvar|x}}足够接近的状态函数{{mvar|y}}，两者的轨迹会趋于相同：
::<math>\lim_{t \to \infty}\|y(t)-x(t)\| \longrightarrow 0. </math> 
则称{{mvar|x}}的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有{{mvar|y}}均成立，則称{{mvar|x}}有全局吸引性（globally attractive）。

如果{{mvar|x}}的轨迹有吸引性，并且穩定，则{{mvar|x}}漸近稳定。不過，{{mvar|x}}有吸引性不表示它的轨迹漸近稳定。

==迭代系統下的定義==

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

给定[[度量空間]]<math>(X,d)</math>。设<math>f\colon X\to X</math>為一[[連續函數]]。稱點<math> a \in X</math>為'''李雅普诺夫稳定'''，如果對任意<math>\epsilon>0</math>，都存在<math>\delta>0</math>，使得只要<math>x \in X</math>满足<math> d(x,a)<\delta</math>，就有
::<math>\forall n\in \mathbb{N} , \; \; d(f^n(x),f^n(a))<\epsilon.</math>

稱點{{mvar|a}}'''漸近穩定'''，如果{{mvar|a}}是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在<math>\delta>0</math>，使得只要<math>x \in X</math>满足<math> d(x,a)<\delta</math>，就有 
::<math>\lim_{n\to\infty} d(f^n(x),f^n(a))=0</math>

==李雅普诺夫穩定性理論==
對於微分方程解之穩定性的研究稱為[[穩定性理論]]。而李雅普诺夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

===李雅普诺夫穩定性第二定理===
考慮一個函數 ''V(x)'' : ''R<sup>n</sup>'' → ''R'' 使得 
* <math>V(x) \ge 0</math> 只有在 <math>x=0</math> 處等號成立（[[正定函數 (實值連續可微函數)|正定函數]]）
* <math> \dot{V}(x(t)) < 0 </math> （負定）

則''V(x)''稱為李雅普诺夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普诺夫的觀點）為'''漸近穩定'''。

上式中 <math>V(0)=0</math> 是必要的條件。否則，<math>V(x) = 1/(1+|x|)</math>可以用來「證明」 <math>\dot x(t) = x</math>有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的[[能量]]。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為[[吸引子]]。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的[[李雅普诺夫函數]]。

例如考慮以下的系統

:<math>\dot{x} = -x^3 \,</math>

希望用李雅普诺夫函數來確認<math>x = 0 \,</math>附近的穩定性。令

:<math>V(x) = 0.5 x^2 \,</math>

<math>V(x)</math>本身為正定函數．而V(x)的導函數如下

:<math>\dot{V}(x(t)) = {\partial V \over \partial x}(-x^3) = -x^4 \,</math>

為負定函數，因此上述系統在<math>x = 0 \,</math>附近為漸近穩定。

==線性系統狀態空間模型的穩定性==
一個線性的[[狀態空間]]模型 

:<math>\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}</math>

為漸近穩定（其實是指數穩定），若

:<math>A^{T}M + MA + N = 0</math>

的解存在。

其中 <math>N = N^{T} > 0</math> 且 <math>M = M^{T} > 0</math> （正定矩陣）。（對應的李雅普诺夫函數為<math>V(x) = x^TMx</math>）

==有輸入值系統的穩定性==

一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示 

:<math>\dot{\textbf{x}} = \textbf{f(x,u)}</math>

其中輸入 u(t) 可視為''控制''、''外部輸入''、''擾動''、''刺激''或''外力''。這種系統的研究是[[控制理論]]研究的主題之一，也應用在[[控制工程]]中。

對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在[[線性系統]]中會用[[BIBO穩定性]]來作分析的工具，在[[非線性系統]]中則會使用[[輸入-狀態穩定性]]。

==相關條目==
*[[李亞普諾夫函數]]
*[[摄动理论]]
*[[拉薩爾不變集原理]]
==參考資料==
{{reflist}}

* {{planetmath |urlid=asymptoticallystable|title=asymptotically stable}}

==外部連結==
* Lyapunov A.M. ''Stability of motion'', Academic Press, New-York and London,1966
* {{cite journal |last=Zakhama |first=R. |last2=Hadj Brahim |first2=A.B.B. |last3=Braiek |first3=N.B. |date=October 2016 |title=Generalization of a stability domain estimation method for nonlinear discrete systems |journal=Computational and Applied Mathematics |volume=37 |pages=1130–1141 |doi=10.1007/s40314-016-0388-7}}
* https://web.archive.org/web/20090703102428/http://www.mne.ksu.edu/research/laboratories/non-linear-controls-lab

{{自動控制}}

[[category:控制论]]
[[Category:稳定性理论]]
[[Category:三體軌道]]