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在[[数学]]中，'''李群胚'''（{{lang|en|Lie groupoid}}）是满足如下条件的[[群胚]]：[[对象 (范畴论)|对象]][[集合 (数学)|集合]] <math>Ob</math> 与[[态射]]集合 <math>Mor</math> 都是[[流形]]，源与靶运算

:<math>s,t : Mor \to Ob </math>

是[[淹没]]，以及所有[[范畴 (数学)|范畴]]运算（源与靶，复合，单位映射）都是光滑的。

就像群胚是有许多对象的[[群]]，一个李群胚可以想象为“有许多对象的[[李群]]推广”。恰如每个李群有一个[[李代数]]，每个李群胚有一个[[李代数胚]]。

== 例子 ==

* 任何李群给出了具有一个对象的李群胚，反之亦然。所有李群胚理论包含李群理论。

* 给定任何流形 <math>M</math>，有一个李群胚称为配对李群胚，<math>M</math> 作为对象流形，从一个对象到任何对象恰有一个态射。在这个群胚的态射流形是 <math>M \times M</math> 。

* 给定一个李群 <math>G</math> 作用在流形 <math>M</math> 上，有一个称为平移李群胚的李群胚，对每个三元组 <math>g \in G, x,y \in M</math> 使得 <math>gx = y</math> 有一个态射。

*任何[[叶状结构]]给出了一个李群胚。

* 任何带有结构群 ''G'' 的[[主丛]] <math>P\to M</math> 给出了一个李群胚，即在 ''M'' 上的 <math>P\times P/G</math>，这里 ''G'' 作用在二元组的每个分量上。通过配对群胚相容的表示定义复合。

== 森田态射与光滑栈 ==
除了群胚的同构，李群胚之间有一个粗糙一点的等价关系，即所谓的[[森田等价]]。一个很一般的例子是 '''切赫群胚'''之间的森田态射，如下所述。设 ''M'' 是一个光滑流形而 <math>\{U_\alpha\}</math> 是 ''M'' 的开覆盖。定义[[不交并]] <math>G_0:=\bigsqcup_\alpha U_\alpha</math> ，显然有淹没 <math>p:G_0\to M</math>。为了说明流形 ''M'' 的结构定义态射集合 <math>G_1:=\bigsqcup_{\alpha,\beta}U_{\alpha\beta}</math>，这里<math>U_{\alpha\beta}=U_\alpha \cap U_\beta\subset M</math>。源与靶映射定义为嵌入  <math>s:U_{\alpha\beta}\to U_\alpha</math> 与 <math>t:U_{\alpha\beta}\to U_\beta</math>。如果我们将 <math>U_{\alpha\beta}</math> 视为 ''M'' 的子集，乘法是显然的（<math>U_{\alpha\beta}</math> 与 <math>U_{\beta\gamma}</math> 一致的点事实上在 ''M'' 中相同，也在 <math>U_{\alpha\gamma}</math> 里）。

这个切赫群胚事实上是 <math>M\Rightarrow M</math> 的拉回群胚，即 ''M'' 在 ''p'' 下的平凡群胚。这便是什么为森田态射。

为了得到等价关系的概念，我们需要这个构造具有对称性与传递性。在这种意义下，我们说两个群胚 <math>G_1\Rightarrow G_0</math> 与 <math>H_1\Rightarrow H_0</math> 森田等价当且仅当存在第三个群胚<math>K_1\Rightarrow K_0</math> 以及从 ''G'' 到 ''K'' 与 ''H'' 到 ''K'' 的两个森田态射。传递性是[[群胚主丛]]范畴中有趣的构造。

在这里问题出现：在森田等价下什么是不变的。有两个显然的东西，一个是群胚的粗糙商／轨道空间 <math>G_0/G_1 = H_0/H_1</math>，另一个是 <math>p\in G_0</math> 与 <math>q\in H_0</math> 中对应点的稳定群。

更进一步的问题是粗糙商空间的是怎么到一个光滑栈这个概念的。我们可以期望粗糙商是光滑流形，比如如果稳定群是平凡的（切赫群胚的例子便是）。但如果稳定群变了，我们便不能再指望得到光滑流形。解决方案是回到问题然后定义：

一个'''光滑栈'''是李群胚的一个森田等价类。栈上自然的几何对象是李群胚在森田等价下不变的几何对象。作为一个例子是考虑李群胚的[[上同调]]。

===例子===
* 光滑栈的概念非常广泛，显然所有光滑流形是光滑栈。
* [[轨形]]也是光滑栈，即 [[艾达尔映射#艾达尔映射与反函数定理|艾达尔]]群胚的等价类。
* 叶状结构的轨道空间是另一类例子。

==参见条目==
* [[埃雷斯曼联络]]
* [[仿射联络]]
* [[曲率形式]]

==外部链接==

*Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, ''AMS Notices'', '''43''' (1996), 744-752.  Also available as [http://arxiv.org/abs/math/9602220 arXiv:math/9602220] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/9602220 |date=20210308062917 }}

*Kirill Mackenzie, ''Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry'', Cambridge U. Press, 1987.

*Kirill Mackenzie, ''General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids'', Cambridge U. Press, 2005

[[Category:李群胚|L]]
[[Category:流形|L]]
[[Category:对称|L]]