查看“︁李群”︁的源代码

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|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
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{{李群}}
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'''李群'''（{{lang-en|Lie group}}，{{IPAc-en|ˈ|l|iː}}）是一个数学概念，指具有群结构的光滑[[微分流形]]，其[[群作用]]與[[微分結構|微分结构]]相容。李群的名字源於挪威数学家[[索菲斯·李]]的姓氏，以其為連續[[變換群]]奠定基礎。1893年，法文名詞''groupes de Lie''首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。<ref>{{cite journal |title= Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations | author= Arthur Tresse |journal=Acta Mathematica|volume=18|year=1893|pages=1–88 |doi=10.1007/bf02418270}}</ref>

粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。[[索菲斯·李]]引入李群的最初动机是为[[微分方程]]的连续对称性建模，就像有限群被用于[[伽罗瓦理论]]对[[代数方程]]的离散对称性建模一样。

== 总览 ==
[[File:Circle as Lie group.svg|right|thumb| [[绝对值]]为1的[[复数 (数学)|复数]]集（对应于[[复平面]]上圆心在原点、半径为1的[[单位圆]]）是一个在复数乘法下的李群，称为[[圆群]]。]]

李群是[[光滑]][[可微流形]]，因而可以用[[微分学]]来研究，这点与更一般的[[拓扑群]]不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被[[索菲斯·李]]本人称为该李群的“无穷小群”，而后来以“李代数”为人熟知。

李群在现代[[几何学]]中在多个层面扮演了重要的角色。[[费利克斯·克莱因]]在他的[[爱尔兰根纲领]]中认为，可以通过选定适当的保持某种几何性质[[不变量|不变]]的变换群来考察各种“几何”。例如，[[欧氏几何]]对应于欧式空间'''R'''<sup>3</sup>中保距变换构成的[[欧几里得群]]E(3)；[[共形几何]]对应于把群扩大到[[共形群]]；而在[[射影几何]]中引起人们兴趣的是[[射影群]]的不变属性。这个观念后来发展为[[G-结构]]的概念，其中''G''是流形"局部"对称性形成的李群。

李群（以及与之关联的李代数）在现代物理学中起到了重要作用，并通常扮演了物理系统中的对称性。这里，[[李群表示]]或相应的[[李代数表示]]尤为重要。 表示理论[[粒子物理和表示理论|在粒子物理中被频繁使用]]。一些具有较为重要的表示的群包括[[旋转群|旋转群SO(3)]]（或其[[双覆盖]][[特殊酉群|特殊酉群SU(2)]])，[[特殊酉群|特殊酉群SU(3)]]以及[[庞加莱群]]。

==定义与样例==
*<math>G</math>为有限维实解析流形
*两个解析映射，二元运算<math>G \times{} G \rightarrow{} G</math>，和逆映射<math>G \rightarrow{} G</math>满足群公理，从而具有群结构。

'''实李群'''是一个满足下列条件的[[群]]：它也是一个有限维实[[可微流形|光滑流形]]，其中群的[[乘法]]和求逆操作是[[光滑映射]]。 群乘法的光滑性

:<math> \mu:G\times G\to G\quad \mu(x,y)=xy</math>

意味着''<math>\mu</math>''是一个从[[流形#笛卡尔积|积流形]]''<math>G \times G</math>''到''<math>G</math>''的光滑映射。这两个条件可以合并成一条，即映射

:<math>(x,y)\mapsto x^{-1}y</math>

是一个从[[流形#笛卡尔积|积流形]]''<math>G \times G</math>''到''<math>G</math>''的光滑映射。

=== 初步的样例 ===
* 所有<math>2\times 2</math>[[实数|实]][[可逆矩阵]]构成了一个乘法群，记作[[一般线性群|<math>GL(2, \R)</math>]]或<math>GL_2(\R)</math>:

:: <math> \operatorname{GL}(2, \R) = \left\{A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}: \det A=ad-bc \ne 0\right\}. </math>

: 这是一个[[紧致空间|非紧致的]]四维实李群；它是<math>\mathbb \R^4</math>的一个开子集。这个群是[[连通空间|非连通的]]；它有两个连通分量，对应于[[行列式]]的正负两种情况。

* [[旋转]]矩阵构成了<math>GL(2, \mathbf{R})</math>的一个[[子群]]，记为<math>SO(2, \mathbf{R})</math>。它自己本身也是一个李群：具体地说，它是一个与[[圆]][[微分同胚]]的一维[[紧致空间|紧致]][[连通空间|连通]]李群。使用旋转角<math>\varphi</math> 作为参数，这个群可以被[[参数方程|参数化]]为如下形式：
:: <math> \operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) =\left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}:  \varphi\in\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}. </math>
:其中，角度的加法对应于<math>SO(2, \mathbf{R})</math>中元素的乘法，角度的相反数对应于逆元。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。

* [[一维仿射群]]是一类二维[[上三角阵]]组成的李群，其中第一个对角线上的元素为正，第二个对角线上的元素为1。因此，该群包含了如下形式的矩阵：
::<math> A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b\in\mathbb{R}.</math>

=== 反例 ===

现在我们给出一个群的例子，它拥有不可数的元素，并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群：

:<math>H = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) \right| \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right)\right| \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},</math>
其中<math>a \in \mathbb P = \mathbb R\setminus\mathbb Q</math>是一个''固定的''[[无理数]]。这是一个[[环面]] <math>\mathbb T^2</math> 的子群，它在[[子空间拓扑]]下不是李群。<ref>{{harvnb|Rossmann|2001|loc=Chapter 2.}}</ref> 比如说，如果我们取<math>H</math>中的一个点<math>h</math>的任意小邻域<math>U</math>，那么<math>H</math>在 <math>U</math>中的部分是不连通的。群<math>H</math>在环面上反复缠绕，形成了一个<math>\mathbb T^2</math>的[[稠密]]子群。

<!-- 檔案不存在 [[File:Irrational line on a torus.png|thumb|right|<math>\mathbb T^2</math>中的群<math>H</math>的一部分。元素<math>h\in H</math>的小邻域在<math>H</math>的子集拓扑上不连通。]] ，可從英文維基百科取得 -->
另一方面，我们可以给群<math>H</math>指定另一个拓扑，使得两点<math>h_1,h_2\in H</math>之间的距离被定义为''群H中''连结 <math>h_1</math>和<math>h_2</math>的最短路径长度。在这个拓扑下，<math>H</math>通过其元素中对应的<math>\theta</math>与实直线同胚。在这种拓扑下，<math>H</math>仅仅是加法意义下的实数群，因此也是李群。

群<math>H</math>是李群的一个非闭"[[李子群]]"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。

===矩阵李群===

用{{nowrap|GL(''n''; '''C''')}}表示复数域上的{{nowrap|''n'' × ''n''}}可逆矩阵。{{nowrap|GL(''n'', '''C''')}}的任何[[闭子群]]也是一个李群<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Corollary 3.45</ref>；这类李群被称为'''矩阵李群'''。
由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括Hall<ref>{{harvnb|Hall|2015}}</ref>以及 Rossmann<ref>{{harvnb|Rossmann|2001}}</ref>等，这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例：
*定义在'''R'''和'''C'''上的[[特殊线性群]]{{nowrap|SL(''n'', '''R''')}}和{{nowrap|SL(''n'', '''C''')}}，分别包括了元素属于'''R'''或'''C'''的、行列式为1的{{nowrap|''n'' × ''n''}}矩阵。
*[[酉群]]U(''n'')（以及[[特殊酉群]]SU(''n'')）, 包含了满足<math>U^*=U^{-1}</math>（对于[[特殊酉群]]而言，还需满足<math>\mathrm{det}(U)=1</math>）的{{nowrap|''n'' × ''n''}}复矩阵。
*[[正交群]]O(''n'')（以及[[特殊正交群]]SO(''n'')），包含了满足<math>R^\mathrm{T}=R^{-1}</math> （对于[[特殊正交群]]而言，还需满足<math>\mathrm{det}(R)=1</math>）的{{nowrap|''n'' × ''n''}}实矩阵。
以上列举的群均为[[经典群]]。

=== 相关概念 ===

与实李群相对应，'''[[复李群]]'''是在[[复流形]]上定义的（例如{{nowrap|SL(2, '''C''')}}）。类似地，使用一种'''Q'''的[[完备度量空间#完备化|度量完备化]]我们可以在 [[p-进数|''p''-进数]]上定义'''''p''-进数李群'''，一种满足每个点都有一个''p''-进数邻域的拓扑群。

== 更多李群的样例 ==
{{see also|李群列表|简单李群列表}}

李群经常出现在数学和物理学中。[[矩阵群]]或[[代数群]]（大部分情况下）是由矩阵构成的群（例如[[正交群]]和[[辛群]]），而这些也是李群最常见的例子。

===一维李群===

一维情况下唯二的连通李群是实直线<math>\mathbb{R}</math> （其群操作为加法）和由绝对值为1的复数组成的[[圆群]] <math>S^1</math> （其群操作为乘法）。 <math>S^1</math>也常被记作<math>U(1)</math>，即<math>1\times 1</math>[[酉群]]。

===二维李群===

在二维情况下，如果我们只考虑简单连通群，那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类，那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是<math>\mathbb{R}^2</math>（其群操作为向量加法）以及[[一维仿射群]]（在前面的小节"初步的样例"中有介绍）。

==解析李群与光滑李群==
部份书籍在定义李群时假设了解析性，本条目採相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为<math>C^\infty</math>）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：

定理.任意<math>C^\infty</math>李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时[[指數映射 (李群)|指数映射]]亦为解析映射。

==同态和同构==
<math>G,H</math>均为李群，二者之间的一个同态：<math>f\,:G\rightarrow H</math>为[[群|群同态]]并且是[[解析映射]]（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的[[类 (数学)|类]]加上同态构成一个[[範疇 (數學)|范畴]]。
两个李群之间存在一个[[双射]]，这个双射及其逆射均为[[同态]]，就称之为[[同构]]。

==李代数==
[[李代數]]刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的[[葉狀結構]]，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設<math>G</math>為李群，其李代數<math>\mathfrak{g}</math>定義為<math>G</math>在單位元的[[切空間]]。<math>\mathfrak{g}</math>自然具備了[[矢量空間]]結構，<math>\mathfrak{g}</math>上的李括積<math>[,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}</math>定義如下：
# 定義<math>G</math>對自身的伴隨作用為 <math>\mathrm{Ad}(x)(y) := x y x^{-1}</math>，<math>x,y \in G</math>。
# 取Ad對變元<math>y \in G</math>在單位元上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為<math>\mathrm{Ad}(x)(Y) = x Y x^{-1}</math>，<math>x \in G, Y \in \mathfrak{g}</math>。
# 再對變元<math>x \in G</math>微分，得到映射<math>\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}</math>。定義李括積為<math>[X,Y] := \mathrm{ad}(X)(Y)</math>。

不難驗證<math>[,]</math>滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群<math>G</math>是交換群若且唯若<math>\mathfrak{g}</math>是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及[[泊松括號]]定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的[[泰勒級數]]定義。

==李群對應李代數==
若<math>G</math>是李群，<math>H \subset G</math>是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射<math>H \to G</math>為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數<math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}</math>。反之，任意子李代數<math>\mathfrak{h}</math>透過左平移定義了<math>G</math>上的葉狀結構，取含單位元的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群<math>H \subset G</math>。此子群未必是閉子群，它可能是<math>G</math>的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射<math>\mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2</math>未必能提昇至李群的映射<math>G_1 \to G_2</math>，但可提昇至映射<math>\tilde{G}_1 \to G_2</math>，其中<math>\tilde{G}_1</math>是<math>G_1</math>的萬有[[覆疊空間]]。

==指數映射==
對於任意矢量<math>X \to \mathfrak{g}</math>，根據常微分方程式的基本理論，存在<math>G</math>中的單參數子群<math>c_X(t), c_X(0)=e</math>使得<math>c_X'(t) = c_X(t) \cdot X</math>。由此得到的映射
: <math>\mathrm{exp}: \mathfrak{g} \to G</math>
: <math> X \mapsto c_X(1)</math>
稱為指數映射。它總是解析映射。

若<math>G</math>為<math>\mathrm{GL}(n)</math>的子群，則<math>\mathrm{exp}(X) = \sum_{i=0}^\infty \frac{X^i}{i!}</math>，這是指數映射一詞的緣由。

當<math>G</math>連通且非交換時，指數映射<math>\mathfrak{g} \to G</math>並非同態；局部上，<math>\mathrm{exp}(X)\mathrm{exp}(Y)</math>可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

==一般體上的李群==
在任意[[域 (數學)|體]]、[[环 (代数)|環]]乃至於[[概形]]上，都可以定義[[群概形]]；這是[[概形]]範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與[[數論]]意義，然而李群未必是[[代數簇]]。

另一方面，若域<math>F</math>對某個[[絕對值]]是完備域，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體<math>F</math>上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是<math>F=\mathbb{C}</math>；至於數論方面，特別涉及[[自守表示]]的研究上，則須用到<math>F</math>為[[p進數]]體的情形。

==參考條目==
*[[李型群]]

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
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=== 来源 ===
{{refbegin}}
* D. Montgomery and L. Zippin, ''Topological Transformation Groups'' (1955), Interscience.
* Anthony W. Knapp, ''Lie Groups Beyond an Introduction'' (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
* Jean-Pierre Serre, ''Lie algebras and Lie groups'' (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .
{{refend}}

{{-}}
{{ModernAlgebra}}

{{Authority control}}

[[Category:李群| ]]
[[Category:流形]]