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{{Use dmy dates|date=October 2011}}
{{About|李括號在向量場中的應用|其他應用下的李括號|李代數}}
'''向量場中的李括號'''，於[[微分拓樸]]的數學領域下，稱為'''Jacobi&#x2013;李括號'''或'''向量場的交換子'''，是在一[[微分流形]]''M''中作用在任意兩個[[向量場]]''X'' 與 ''Y''的[[算子]]，此一算子作用後也會形成向量場，以{{nowrap|[''X'', ''Y'']}}標示。

李括號 {{nowrap|[''X'', ''Y'']}} 在概念上是沿著由''X''生成{{le|向量流|Vector flow}}的''Y''微導，常寫為 ''<math>\mathcal{L}_X Y</math>'' ("沿著 X 的Y 李微導")。這可以推廣到沿著由''X''生成的流上任意[[张量场]]的[[李导数]]。

李括號是個'''R'''-[[雙線性形式|雙線性]]算子，且將所有在流形''M'' 的[[光滑函数|光滑]]向量體轉成（無限維）[[李代數]]。

李括號在[[微分幾何]]與[[微分拓樸]]中相當重要，例如在作為[[非線性控制]]幾何理論基礎的[[弗罗贝尼乌斯定理]]中就可看到李括號<ref>{{harvnb|Isaiah|2009|pp=20&ndash;21}}, nonholonomic systems; {{harvnb|Khalil|2002|pp=523&ndash;530}}, feedback linearization.</ref>。
== 定義 ==
李括號有下列三種定義，這三種定義不同，但是等價：

=== 作為微導的向量場 ===
在一流形''M''上的所有平滑向量場''X'' 可以視為作用在''C''<sup>∞</sup>(''M'')的平滑函數 [[微分算子]]。的確，每個向量場 ''X'' 可成為在''C''<sup>∞</sup>(''M'') 上的[[微分算子]]（[[导子]]），因此可定義 ''X''(''f'') 的函數，計算函數在方向''X''(''p'')上點''p''的''f''值[[方向导数]]，更進一步，於''C''<sup>∞</sup>(''M'')的任意微導都是源於唯一的平滑向量場''X''。

一般來說，任意兩微導 <math>\delta_1</math> 與<math>\delta_2</math>的 [[交換子]] <math>\delta_1\circ \delta_2 - \delta_2\circ\delta_1</math> 亦是微導，當中 <math>\circ</math> 為算子之組合。<math> f\in C^\infty(M)</math>能用於定義關乎微導交換子向量場的李括號：

: <math>[X,Y](f) = X(Y(f))-Y(X(f)) </math>.

=== 流與極限 ===
令<math>\Phi^X_t</math> 為關乎向量場 ''X'' 的[[流 (數學)|流]] 及 D 表示[[前推 (微分)|切線圖導數算子]]（tangent map derivative operator），那麼在點{{nowrap|''x'' &isin; ''M''}}的 ''X'' 與''Y'' 的李括號可以定義為 [[李导数]]：

: <math>[X, Y]_x \ =\ (\mathcal{L}_X Y)_x \ :=\ \lim_{t \to 0}\frac{(\mathrm{D}\Phi^X_{-t}) Y_{\Phi^X_t(x)} \,-\, Y_x}t 
\ =\ 
\left.\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} (\mathrm{D}\Phi^X_{-t}) Y_{\Phi^X_t(x)} .</math>

這也測量了連續方向的failure of the flow
<math>X,Y,-X,-Y</math> 至點 ''x'':

: <math>[X, Y]_x \ =\ \left.\tfrac12\tfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\right|_{t=0} (\Phi^Y_{-t} \circ \Phi^X_{-t} \circ \Phi^Y_{t} \circ \Phi^X_{t})(x) 
\ =\  \left.\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} (\Phi^Y_{\!-\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{\!-\sqrt{t}} \circ \Phi^Y_{\!\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{\!\sqrt{t}})(x) .</math>
=== 以坐標表示 ===
雖上述李括號的定義為[[微分幾何#內在對外在|內在]]的（和流形''M''上的座標選擇無關)，但在實務上常常會想計算特定坐標系<math>\{ x^i \}</math>下的李氏括号。可以令<math>\partial_i = \tfrac{\partial}{\partial x^i}</math>，為切線束的相關局部基底，使得對平滑函數<math>X^i, Y^i:M\to\mathbb{R}</math>而言，一般向量場能寫成 <math>\textstyle X=\sum_{i=1}^n X^i \partial_i</math>與 <math>\textstyle Y=\sum_{i=1}^n Y^i \partial_i</math>。因此李括號可由以下方式計算：

: <math>[X,Y] := \sum_{i=1}^n\left(X(Y^i) - Y(X^i)\right) \partial_i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left(X^j \partial_j Y^i - Y^j \partial_j X^i \right) \partial_i .</math>

若 ''M'' 是'''R'''<sup>''n''</sup>的某開子集，那麼向量場''X'' 與 ''Y'' 可以寫成由平滑函數<math>X:M\to\mathbb{R}^n</math> 與<math>Y:M\to\mathbb{R}^n</math>形式，且李括號<math>[X,Y]:M\to\mathbb{R}^n</math> 的表示式如下：
<math>[X,Y] := J_Y  X - J_X Y</math> 

此處之 <math>J_Y</math> 與 <math>J_X</math> 是 ''n×n'' [[雅可比矩阵]] 乘上 ''n×''1 欄向量 ''X'' 與 ''Y''。

== 性質 ==
向量場的李括號等同於所有在''M''（也就是切線束的平滑截 <math>TM\to M</math>) 上實向量空間<math>V=\Gamma(TM)</math>中的[[李代數]]的結構，表 [ • , • ]  為具以下性質之 <math>V\times V\to V</math>的映射：

* '''R'''-[[雙線性形式]]
*[[反對稱性]], <math>[X, Y] = -[Y, X]</math>
*[[雅可比恒等式]]，<math>[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0 .</math>

第二性質可馬上推得對任意 <math>X</math>，會使具<math>[X, X] = 0</math>成立。

更進一步說，李括號具有「[[乘积法则]]」 。 給定一平滑 (純量值) 函數 ''f'' 與在''M''上的向量場，由每點{{nowrap|''x'' &isin; ''M''}}的純量乘向量''Y<sub>x</sub>''後可以得到一個新的向量場''fY'' ，如此：
 
* <math> [X, fY] \ =\  X\!(f)\, Y \,+\, f\, [X,Y] ,</math>

此處用向量場''Y''乘上純量函數 ''X''(''f'') ，及向量場{{nowrap|[''X'', ''Y'']}}與純量函數 ''f''
如此引導出一具李括號的向量場至[[李代數]]。

若''X'' 與''Y''的李括號為零，表示在這些方向可以定義以''X'' 與''Y''作為座標向量場而內嵌入於''M''之曲面：

'''定理:'''  <math>[X,Y]=0\,</math> 若且為若''X'' 與 ''Y''的流局部交換，此指對所有{{nowrap|''x'' &isin; ''M''}}且足夠小的''s'', ''t''，<math>(\Phi^Y_t \Phi^X_s) (x) =(\Phi^X_{s}\, \Phi^Y_t)(x)</math>。

而這為[[弗罗贝尼乌斯定理]]的特例。

== 應用 ==
在證明控制仿射無漂系統（driftless affine control system）的小時間局部可控制性（small-time local controllability、STLC）時，李氏括号是其中重要的一部份。

== 總結 ==
如上所述，[[李导数]]可被視為廣義的李括號。其他可視為是（[[向量值微分形式]]）廣義李括號的有[[弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号]]（Frölicher–Nijenhuis bracket）

==相關條目==
*[[非完整系統]]
*[[回授線性化]]
== 參考 ==
{{Reflist}}

== 其他阅读 ==

* {{springer|title=Lie bracket|id=p/l058550}}
* {{citation|last=Isaiah|first=Pantelis|title=Controlled parking [Ask the experts]|journal=IEEE Control Systems Magazine|year=2009|volume=29|issue=3|pages=17&ndash;21, 132|doi=10.1109/MCS.2009.932394}}
* {{citation|last=Khalil|first=H.K.|authorlink=Hassan K. Khalil|year=2002|edition=3rd|url=http://www.egr.msu.edu/~khalil/NonlinearSystems/|isbn=0-13-067389-7|title=Nonlinear Systems|publisher=[[Prentice Hall]]|location=Upper Saddle River, NJ|accessdate=2019-08-03|archive-date=2017-07-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20170725034944/http://www.egr.msu.edu/~khalil/NonlinearSystems/|dead-url=no}}
* {{Citation|author=Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J.|title=Natural operations in differential geometry|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html|publisher=Springer-Verlag|year=1993|accessdate=2019-08-03|archive-date=2021-02-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210214155703/https://www.emis.de/monographs/KSM/index.html|dead-url=no}} Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
* {{Citation|author=Lang, S.|title=Differential and Riemannian manifolds|publisher=Springer-Verlag|year=1995|isbn=978-0-387-94338-1}} For generalizations to infinite dimensions.
* {{Citation|author=Lewis, Andrew D.|url=http://penelope.mast.queensu.ca/math890-03/ps/math890.pdf|title=Notes on (Nonlinear) Control Theory}}{{dead link|date=December 2017|bot=InternetArchiveBot|fix-attempted=yes}}
* {{Citation|last=Warner|first=Frank|title=Foundations of differentiable manifolds and Lie groups|origyear=1971|edition=|year=1983|publisher=Springer-Verlag|location=New York-Berlin|isbn=0-387-90894-3}}

[[Category:雙線性算子]]
[[Category:二元運算]]
[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:黎曼幾何]]