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在[[微分幾何]]中，'''李导数（Lie derivative）'''是一個以[[索甫斯·李]]命名的[[算子]]，作用在[[流形]]上的張量場，向量場或[[光滑函数|函数]]，將該張量沿著某個向量場的[[流]]做[[方向導數]]。因為該作用在座標變換下保持不變，因此，該李導數在一般的流形上都是[[定義良好]]的。

所有李导数组成的[[向量空间]]对应于如下的[[李括号]]构成一个无限维[[李代数]]。

:<math> [A,B]\overset{def}{=} \mathcal{L}_A B  - \mathcal{L}_B A</math>

李导数用[[向量场]]表示，这些向量场可看作''M''上的流（flow, 也就是时变[[微分同胚]]）的[[无穷小生成元]]。从另一角度看，''M''上的微分同胚组成的[[群]]，有其对应的李导数的李代数结构，在某种意义上和[[李群]]理论直接相关。

==定义==
李导数有几种等价的定义。在本节，为简便起见，我们用标量场和向量场的李导数的定义开始。李导数也可定义在一般的张量上，如后面的章节所述。

李导数的定义可以从函数的[[微分]]开始。这样，给定一个函数<math>f:M\rightarrow \mathbb{R}</math>和一个''M''上的[[向量场]]''X'' , ''f''在点<math>p\in M</math>的李导数定义为

:<math>\mathcal{L}_Xf(p)=df(p)\, [X(p)]</math>

其中<math>df</math>是''f''的微分。也就是，<math>df:M\rightarrow T^*M</math>是由下式给出的[1-形式]

:<math>df = \frac{\partial f} {\partial x^a} dx^a</math>.

这里，<math>dx^a</math>是[[余切丛]]<math>T^*M</math>的[[基向量]]。这样，记号<math>df(p)\, [X(p)]</math>表示取''f''（在''M''中的点''p''）的微分和向量场''X''（在点''p''）的[[内积]]。

或者，可以先表明''M''上的光滑向量场''X''定义了一个''M''上的单参数曲线族。也就是，可以表明存在[[曲线]]<math>\gamma(t)</math>在''M''上使得

:<math>\frac{d\gamma}{dt}(t)=X(\gamma(t))</math>

其中<math>p=\gamma(0)</math>对于所有''M''中的点''p''成立。这个一阶[[常微分方程]]的解的存在性由[[皮卡-林德洛夫定理]]给出（更一般的，这种曲线的存在性是[[弗罗贝尼乌斯定理]]给出）。然后可以定义李导数为

:<math>\mathcal{L}_Xf(p)=\frac{d}{dt}  f(\gamma(t)) \vert_{t=0}</math>.

第三个可能的定义可以通过先定义一对向量场的[[李括号]]给出。首先注意到[[切空间]]的基向量可以写为<math>\frac{\partial}{\partial x^a}</math>，所以一个向量场，用一组选定的基向量可以表示为

:<math>X=X^a  \frac{\partial}{\partial x^a}</math>

定义'''[[李括号]]'''<math>[X,Y]</math>为

:<math>[X,Y]=
X^a \frac{\partial Y^b}{\partial x^a} \frac{\partial}{\partial x^b} -
Y^a \frac{\partial X^b}{\partial x^a} \frac{\partial}{\partial x^b} </math>

然后定义向量场''Y''的李导数等于''X''和''Y''的李括号，也就是，

:<math>\mathcal{L}_X Y = [X,Y]</math>.

根据上面任选的一个定义，其他的定义可被证明为其等价形式。
例如，可以证明，对于一个可微函数''f''，

:<math>\mathcal{L}_X (f) = df(X) = X(f)</math>

并且

:<math> [X,Y]f = X(Y( f )) - Y(X( f ))</math>.

我们用在[[1-形式]]<math>\omega = \omega_a dx^a</math>上的李导数的定义来结束本节：

:<math>\mathcal{L}_X \omega =
\left(\frac{\partial \omega_b} {\partial x^a} X^a +
\frac{\partial X^a} {\partial x^b} \omega_a \right) dx^b </math>.

==性质==
李导数有一些属性。令<math>\mathcal{F}(M)</math>为[[流形]]''M''上的函数组成的[[代数]]。则

:<math>\mathcal{L}_X : \mathcal{F}(M) \rightarrow \mathcal{F}(M)</math>

是一个在代数<math>\mathcal{F}(M)</math>上的[[导数]]。也就是，
<math>\mathcal{L}_X</math>是'''R'''-线性的，并且

:<math>\mathcal{L}_X(fg)=(\mathcal{L}_Xf) g + f\mathcal{L}_Xg</math>.

类似的，它是<math>\mathcal{F}(M) \times \mathcal{X}(M)</math>上的一个导数，其中<math>\mathcal{X}(M)</math>是''M''上的向量场的集合：

:<math>\mathcal{L}_X(fY)=(\mathcal{L}_Xf) Y + f\mathcal{L}_X Y</math>

也可写为等价形式

:<math>\mathcal{L}_X(f\otimes Y)=
(\mathcal{L}_Xf) \otimes Y + f\otimes \mathcal{L}_X Y</math>

其中[[张量积]]符号<math>\otimes</math>用于强调函数和向量场的积在整个流形上取。

另外的性质和[[李括号]]的一致。所以，例如，作为向量场的导数，

:<math>\mathcal{L}_X [Y,Z] = [\mathcal{L}_X Y,Z] + [Y,\mathcal{L}_X Z]</math>

容易发现上面就是[[雅可比恒等式]]。这样，就可以得到“装备了李括号的''M''上的向量空间是[[李代数]]”的重要结果。

==和外导数的关系、微分形式的李导数==
李导数和[[外导数]]密切相关，因此和[[埃里·嘉当]]的[[微分流形]]理论相关。
两个都试图给出导数的思想，其差别几乎只是记号上的。这个区别可以通过引入'''反导数'''或等效的[[内积]]来消除。
这之后，两者的关系就体现在一组恒等式上。

令''M''为一个流形，''X''为''M''上一个向量场。令<math>\omega \in \Lambda^{k+1}(M)</math>为一''k''+1-形式。
''X''和ω的'''内积'''为

:<math>i_X\omega (X_1,\ldots,X_k) = \omega (X,X_1,\ldots,X_k)</math>

注意

:<math>i_X:\Lambda^{k+1}(M) \rightarrow \Lambda^k(M)</math>

以及<math>i_X</math>是<math>\wedge</math>-[[反导数]]。也就是，<math>i_X</math>是'''R'''-线性的，并且

:<math>i_X (\omega \wedge \eta) =
(i_X \omega) \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge (i_X \eta)</math>

对于<math>\omega \in \Lambda^k(M)</math>和另一个微分形式η成立。另外，对于一个函数<math>f \in \Lambda^0(M)</math>，那是一个实或复值
的''M''上的函数，有

:<math>i_{fX} \omega = fi_X\omega</math>

[[外导数]]和李导数的关系可以总结为以下这些。对于一般函数''f''，李导数就是外导数和向量场的内积：

:<math>\mathcal{L}_Xf = i_X df</math>

对于一般的微分流形，李导数类似于内积，加上''X''的变化：

:<math>\mathcal{L}_X\omega = i_Xd\omega + d(i_X \omega)</math>.

当ω为1-形式，上述恒等式经常写作

:<math>d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).</math>

导数的乘积是可分配的

:<math>\mathcal{L}_{fX}\omega =
f\mathcal{L}_X\omega + df \wedge i_X \omega</math>

==张量场的李导数==

在[[微分几何]]中，如果我们有一个<math>(p,q)</math>[[张量阶|阶]][[可微]][[张量场]]（我们可以把它当作[[余切丛]]<math>T^*M</math>的[[光滑]][[截面 (纤维丛)|截面]]<math>\alpha, \beta, \ldots</math>和[[切丛]]<math>TM</math>的截面<math>X, Y, \ldots</math>的线性映射
<math>T (\alpha, \beta, \ldots, X, Y, \ldots )</math>），使得对于任何函数
<math>f_1,\ldots,f_p,f_{p+1},\ldots,f_{p+q}</math>有

:<math>T(f_1\alpha,f_2\beta,\ldots,f_{p+1}X,f_{p+2}Y,\ldots) = f_1 f_2 \cdots f_{p+1} f_{p+2} \cdots f_{p+q} T(\alpha,\beta,\ldots,X,Y,\ldots)</math>),

而且如果进一步有一个可微[[向量场]]（也就是[[切丛]]的一个光滑截面）<math>A</math>，则线性映射

:<math>(\mathcal{L}_{A}T)(\alpha, \beta, \ldots, X, Y, \ldots) \equiv \nabla_A T(\alpha,\beta,\ldots,X,Y,\ldots) - \nabla_{T(\cdot, \beta, \ldots, X, Y, \ldots)} \alpha(A) - \ldots + T(\alpha, \beta, \ldots, \nabla_X A, Y, \ldots) + \ldots</math>

独立于[[联络]]∇；只要它是无[[挠率]]的，事实上，这个映射是一个[[张量]]。这个张量称为<math>T</math>关于<math>A</math>的'''李导数'''。

换句话说，如果你有一个张量场<math>T</math>和一个由向量场<math>U</math>给出的微分同胚的无穷小生成元，则<math>\mathcal{L}_{U} T</math>就是<math>T</math>在这个无穷小微分同胚下的无穷小变化。

或者，给定向向量场<math>U</math>，令ψ为<math>U</math>的积分曲线族，向上面那样。注意ψ是一个局部单参数局部微分同胚[[群]]。令<math>\psi^*</math>为由ψ诱导的[[拉回]]（pullback）。则张量<math>T</math>在<math>p</math>点的李导数如下
:<math>\mathcal{L}_U T = \frac{d}{dt}\left(\psi^*_t T\right) \vert_{\psi(t)=p}</math>.

==参见==
* [[基灵向量场|基灵场]]
* [[李群]]
* [[测地线]]
* [[协变导数]]
* [[联络]]

==参考==
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-4267-2 ''See section 1.6''.
* [[Ralph Abraham]] and Jerrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X ''See section 2.2''.
* David Bleecker, ''Gauge Theory and Variational Principles'', (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. ''See Chapter 0''.

[[Category:微分几何|L]]
[[Category:黎曼几何|L]]
[[Category:二元運算|L]]
[[Category:导数的推广]]