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{{NoteTA
|T = zh-cn:李余代数;zh-tw:李餘代數;
|1 = zh-cn:余;zh-tw:餘;
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[[数学]]中，'''李余代数'''（{{lang|en|Lie coalgebra}}）是与[[李代数]]对偶的结构。 

在有限维情形，它们是对偶的对象：[[李代数]]的[[对偶向量空间]]上自然有一个李余代数结构，反之亦然。
==定义==
设 ''E'' 是[[域 (數學)|域]] ''k'' 上一个[[向量空间]]，上有一个线性映射 <math>d\colon E \to E \wedge E</math>  从 ''E'' 到 ''E'' 与自身的[[外积]]。可将 ''d'' 惟一扩张成 ''E'' 的[[外代数]]上一个度数为 1 的[[分次导子]]<ref>这意味着，对任何[[齐次元素]] ''a'', ''b'' &isin; ''E''，<math>d(a \wedge b) = (da)\wedge b + (-1)^{\operatorname{deg} a} a \wedge(db)</math>。</ref>：
:<math>d\colon \bigwedge^\bullet E\rightarrow \bigwedge^{\bullet+1} E.</math>
那么二元组 (''E'',''d'') 称为李余代数如果 ''d''<sup>2</sup> = 0，即外代数的分次分量与导子一起 <math>(\bigwedge^* E, d)</math> 构成一个[[上链复形]]：
:<math>E\ \rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge^3 E\rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots.</math>

===与德拉姆复形的关系===
就像[[流形]]上[[向量场]]的外代数（张量代数也是）构成一个（基域 ''K'' 上的）李代数，流形上[[微分形式]]的[[德拉姆复形]]形成一个李余代数。进一步，在向量场与微分形式之间有一个配对。

但形式要微妙些：李代数不是光滑函数 <math>C^\infty(M)</math> 上线性的（误差是[[李导数]]），[[外导数]]也不是：<math>d(fg) = (df)g + f(dg) \neq f(dg)</math>（它是一个导子，但不是函数线性的），它们不是张量。它们不是在函数上线性的，但它们有一种一致的表现，不能简单地由李代数与余代数刻画。

进一步，在德拉姆复形中，导子不仅对 <math>\Omega^1 \to \Omega^2</math> 有定义，而且对 <math>C^\infty(M) \to \Omega^1(M)</math> 有定义。

==对偶的李代数==
向量空间上李代数结构是一个映射 <math>[\cdot,\cdot]\colon \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math>，反对称，且满足[[雅可比恒等式]]。等价地，一个映射 <math>[\cdot,\cdot]\colon
\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}</math> 满足雅可比恒等式。

对偶地，向量空间上李余代数结构是一个映射 <math>d\colon E \to E \wedge E</math>，满足上闭链条件。李括号的对偶诱导一个映射（余交换子）
:<math>[\cdot,\cdot]^*\colon \mathfrak{g}^* \to (\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g})^* \cong \mathfrak{g}^* \wedge \mathfrak{g}^*</math>
这里同构 <math>\cong</math> 对有限维成立；对偶是李[[乘积]]的对偶。在这种情形下，雅可比恒等式对应于[[上闭链]]条件。

更明确地，令 ''E'' 是一个李余代数。对偶空间 ''E''<sup>*</sup> 上带有
:&alpha;([''x'', ''y'']) = ''d''&alpha;(''x''&and;''y'')，对所有 &alpha; &isin; ''E'' 与 ''x'',''y'' &isin; ''E''<sup>*</sup>
定义的括号结构。

我们证明 ''E''<sup>*</sup> 上所赋予的是一个李括号。只需验证雅可比恒等式。对任意 ''x'', ''y'', ''z'' &isin; ''E''<sup>*</sup> 与 &alpha; &isin; ''E''， 
:<math>d^2\alpha (x\wedge y\wedge z) = \frac{1}{3} d^2\alpha(x\wedge y\wedge z + y\wedge z\wedge x + z\wedge x\wedge y) =  \frac{1}{3} \left(d\alpha([x, y]\wedge z) + d\alpha([y, z]\wedge x) +d\alpha([z, x]\wedge y)\right),</math>
这里最后一步是楔积的对偶与对偶的楔积的标准等同。最后，给出
:<math>d^2\alpha (x\wedge y\wedge z) = \frac{1}{3} \left(\alpha([[x, y], z]) + \alpha([[y, z], x])+\alpha([[z, x], y])\right).</math>
因 ''d''<sup>2</sup> = 0，从而
:<math>\alpha([[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y]) = 0</math> 对任意 &alpha;, ''x'', ''y'', 与 ''z''。
这样，由双对偶同构雅可比恒等式成立。

特别地，注意到证明指出了上闭链条件 ''d''<sup>2</sup> = 0 是雅可比恒等式在某种意义下的对偶。

==注释==
{{reflist|1}}

[[Category:余代数]]
[[Category:李代数]]