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在[[数学]]中，'''李代数胚'''（{{lang|en|Lie Algebroid}}）在[[李群胚]]理论中的角色恰如[[李代数]]在[[李群]]理论中的角色：将整体问题减化为无穷小情形。就像李群胚可以视为“具有许多[[对象 (范畴论)|对象]]的李群”，李代数胚可视为“具有许多对象的李代数”。

确切地说，一个李代数胚是[[三元组]] <math>(E, [\cdot,\cdot], \rho)</math>，其中 <math>E</math> 为[[流形]] <math>M</math> 上一个[[向量丛]]，<math>[\cdot,\cdot]</math> 是截面 <math>\Gamma (E)</math> 组成的[[模]]上的一个[[李括号]]，向量丛同态 <math>\rho: E\rightarrow TM</math> 称为'''锚'''。这里<math>TM</math> 是 <math>M</math> 的[[切丛]]。锚与李括号满足[[莱布尼兹法则]]：

:<math>[X,fY]=\rho(X)f\cdot Y + f[X,Y]\ ,</math>

这里 <math>X,Y \in \Gamma(E), f\in C^\infty(M)</math> 和 <math>\rho(X)f</math> 是 <math>f</math> 沿着向量场<math>\rho(X)</math> 的导数。从而

:<math>\rho([X,Y])=[\rho(X),\rho(Y)]\ ,</math>

对任何 <math>X,Y \in \Gamma(E)</math>。

== 例子 ==

* 任何[[李代数]]是单点流形上的李代数胚。

* 流形 <math>M</math> 的切丛 <math>TM</math> 是一个关于向量场的李括号的李代数胚，锚是 <math>TM</math> 的恒同。

* 切丛的任何可积子丛（即其截面在李括号下闭）也定义了一个李代数胚。

* 流形上的任何李代数丛定义了一个李代数胚，这里李括号逐点定义而锚映射等于零。

* 对任何[[李群胚]]相伴一个李代数胚，推广了一个李代数怎样相伴到[[李群]]（见下）。例如，李代数胚 <math>TM</math> 来自配对群胚，其对象为 <math>M</math>，以及任何一对对象之间的一个同构态射。很不幸的是，从李代数胚不一定可以得到一个李群胚 <ref>Marius Crainic, Rui L. Fernandes: Integrability of Lie brackets, available as [http://arxiv.org/abs/math/0105033 arXiv:math/0105033] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/0105033 |date=20210307204451 }}</ref>，不过任何李代数胚给出一个[[代数栈|栈]]李群胚 <ref>Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu, Integrating Lie algebroids via stacks, available as [http://arxiv.org/abs/math/0405003 arXiv:math/0405003] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/0405003 |date=20210308061623 }}</ref><ref>Chenchang Zhu, Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids, available as [http://arxiv.org/abs/math/0701024 arXiv:math/0701024] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/0701024 |date=20190709020816 }}</ref>。

* 给定一个李代数 '''g''' 在流形 ''M'' 上的作用，''M'' 上 '''g'''-不变向量场是作用[[轨道]]上的李代数胚。

* '''阿蒂亚代数胚'''：给定流形 ''M'' 上的向量丛 ''V''，考虑其导数，即光滑 <math>\mathbb R</math>-线性映射 <math>\psi:\Gamma(V)\to \Gamma(V)</math>，且存在一个向量场 ''X'' 使得它们满足莱布尼兹法则 <math>\psi(fv)=X[f]v+f\psi(v)</math> 对所有光滑函数 ''f'' 与向量丛的所有截面 ''v'' 。联系 <math>\psi\to X</math> 显然是线性的，从而有向量丛之间的一个映射 <math>\rho:A(V)\to TM</math>（如果你找出丛使得其截面给出导数）。阿蒂亚代数胚进一步由满足如下短正合列刻画 <math>0\to \mathrm{End}_M(V)\to A(V)\to TM\to 0</math>。为了说明每个向量丛存在阿蒂亚代数胚，只需注意到它是相伴于向量丛 ''V'' 的标架丛李群胚的李代数胚。

== 与李群胚相伴的李代数胚 ==
为了叙述这个构造我们先确定一些记号。''G'' 是李群胚的态射空间，''M'' 是对象空间，<math>e:M\to G</math> 是单位映射，<math>t:G\to M</math> 为靶映射。

<math>T^tG=\bigcup_{p\in M}T(t^{-1}(p))\subset TG</math> 为 ''t''-纤维切空间。这样李代数胚是切丛 <math>A:=e^*T^tG</math>，从 ''G'' 中继承一个括号，因为我们可以将 ''M''-截面通过 ''G'' 上的左不变向量丛等价到 ''A'' 中。而且通过将 ''M'' 上的光滑函数等价于 ''G'' 上的左不变函数，这些截面作用在 ''M'' 上的光滑函数上。

作为一个更清晰的例子，考虑配对李群胚 <math>G:=M\times M</math> 相伴的李代数胚。靶映射为 <math>t:G\to M: (p,q)\mapsto p</math>，单位映射 <math>e:M\to G: p\mapsto (p,p)</math>。''t''-纤维是 <math>p\times M</math> 从而 <math>T^tG=\bigcup_{p\in M}p\times TM \subset TM\times TM</math>。所以李代数胚是切丛 <math>A:=e^*T^tG=\bigcup_{p\in M} T_pM=TM</math>。截面 ''X'' 扩张到 ''A'' 中 ''G'' 上一个左不变向量场不过是 <math>\tilde X(p,q)=0\oplus X(q)</math>，而 ''M'' 上一个光滑函数 ''f'' 扩张 ''M'' 上一个左不变函数是 <math>\tilde f(p,q)=f(q)</math>。从而 ''A'' 上的李括号恰好是切向量场上的李括号，锚映射是恒同。

当然也可以用源映射与右不变向量场/函数做相同的程序。但是得到的是同构的李代数胚，同构映射是 <math>i_*</math>，这里 <math>i:G\to G</math> 是逆映射。

==参见条目==
* [[埃雷斯曼联络]]
* [[仿射联络]]
* [[曲率形式]]

==参考文献==
<references/>

==外部链接==

*Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, ''AMS Notices'', '''43''' (1996), 744-752. Also available as [http://arxiv.org/abs/math/9602220 arXiv:math/9602220] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/9602220 |date=20210308062917 }}

*Kirill Mackenzie, ''Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry'', Cambridge U. Press, 1987.

*Kirill Mackenzie, ''General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids'', Cambridge U. Press, 2005

*Charles-Michel Marle, ''Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds'' (2002). Also available in [http://arxiv.org/abs/0804.2451v1 arXiv:0804.2451]

[[Category:李代数]]