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{{unreferenced|time=2015-02-07T08:32:00+00:00}}
'''权重函数'''（{{lang-en|Weight function}}）是执行[[求和]]、[[求积]]或求[[平均值]]等时候用来给不同[[元素]]施加不同权重的函数。

应用权重函数的结果是加权{{notetag|加權的意思就是乘以權重，亦即乘以係數的意思}}和或加权平均值。权重函数在[[统计学]]和[[分析学]]中经常出现，并且与[[测度]]的概念密切相关。权重函数可用于离散和连续的设置，构建称为加权微积分或元微积分的微积分系统。

在量測時，因測量值[[精度]]的不同，而在平差計算中採取的權重不同；若測量值的精度較高，則平差計算時也應占有較高的「比重」，平差法將它稱為「權」。{{notetag|此「比重」是相對的數值，「權」亦是相對的數值。當精度越高，權就越大}}

== 权的基本公式 ==

求'''权'''的基本公式为

<math>p_{i}=\frac{\mu^{2}}{m_{i}^{2}}(i=1,2 \ldots)</math>

式中，<math>\mu</math>是任意常数，<math>m_{i}</math>是[[中误差]]。由此可见，'''权'''与[[中误差]]平方成反比，即精度越高，权越大。应用上式求一组观测值的权<math>p_{i}</math>时，必须采用同一个<math>\mu</math>值。

由该定义式，可以看出，当<math>m_{i}=\mu</math>时，<math>p_{i}=1</math>，所以<math>\mu</math>是'''权'''等于1的观测值的[[中误差]]，通常称'''权'''等于1的权为'''单位权'''，'''权'''为1的观测值为'''单位权观测值'''。而<math>\mu</math>为单位权观测值的[[中误差]]，简称为'''单位权中误差'''。

可以写出各观测值的权之间的比例关系：

<math>p_{1}:p_{2}: \dots :p_{n}= \frac{\mu^{2}}{m_{1}^{2}}: \frac{\mu^{2}}{m_{2}^{2}}:\ldots:\frac{\mu^{2}}{m_{n}^{2}} = \frac{1}{m_{1}^{2}}: \frac{1}{m_{2}^{2}}:\ldots:\frac{1}{m_{n}^{2}}</math>

可知，一组观测值的权之比等于他们的中误差[[平方倒數|平方的倒数]]之比。不论假设<math>\mu</math>取何值，这组权之间的比例关系不变。所以，权反映了观测值之间的相互精度关系。就计算p值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定他们之间的比例关系。<math>m_{i}</math>可以是同一个量的观测中误差，也可以是不同量的观测中误差，即权可以反映同一量的若干个观测值之间的精度高低，也可以反映不同量的观测值之间的精度高低。

== 普通测量中的定权 ==
同精度丈量时，边长的权与边长成反比。

当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度成反比。

当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。

由不同个数的同精度观测值求得得算术平均值，其权与观测值个数成正比。

== 观测值函数的权 ==
设有独立观测值 <math>L_{1},L_{2},\ldots,L_{n}</math>，它们的[[標準差]]及权分别为<math>m_{1},m_{2},\ldots,m_{n}</math>和<math>p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}</math>。令观测值[[函数]]为：

<math>z=f(L_{1},L_{2}\ldots L_{n})</math>

由[[误差传播]]及定权公式，得

<math>\frac{\mu^{2}}{p_{z}}=\left( \frac{\partial f}{\partial L_{1}} \right)^{2}\frac{\mu^{2}}{p_{1}}+ \left( \frac{\partial f}{\partial L_{2}} \right)^{2}\frac{\mu^{2}}{p_{1}}+\ldots + \left( \frac{\partial f}{\partial L_{n}} \right)^{2}\frac{\mu^{2}}{p_{n}}</math>

式中<math>\left( \frac{\partial f}{\partial L_{n}} \right)</math>是常量，用<math>f_{i}</math>表示，上式约去<math>\mu^{2}</math>后得

<math>\frac{1}{p_{z}}=f_{1}^{2}\frac{1}{p_{1}}+f_{2}^{2}\frac{1}{p_{2}}+\ldots+f_{n}^{2}\frac{1}{p_{n}}=\left[\frac{ff}{p} \right]</math>

这就是独立观测值权倒数与其函数权倒数之间关系的表达式。这个表达式成为'''权倒数传播律'''。

广义[[算术平均值]]的权，等于观测值权之和。

<math>p_{x}=[p]</math>
==注释==
{{notefoot}}
[[Category:测绘学]]
[[Category:误差理论]]