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'''朱世杰恒等式'''是[[组合数]]的一阶求和公式。元朝數學家[[朱世傑]]在《[[四元玉鑒]]》中，利用[[垛積術]]、[[招差術]]給出：

:<math>\sum_{i = a}^n \binom{i}{a}  = \binom{n + 1}{a+1}</math><ref>{{Cite journal|author = 羅見今|title = 朱世傑—范德蒙公式的發展簡介|accessdate = 2022-11-23|journal = [[數學傳播]]|publisher = 中央研究院數學研究所|url = https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=32407|date = 2008-12|volume = 32|number = 4 (128)|archive-date = 2023-02-01|archive-url = https://web.archive.org/web/20230201224640/https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=32407|dead-url = no}}</ref>，
或以<math>m-1</math>代<math>n</math>再與上式作差，寫成：
:<math> \sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1} </math>。

==证明==
===递归方法===
欲證
: <math> \binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1} </math>，
可以反覆使用[[帕斯卡法則]]合併左式首兩項。

===组合方法===
从<math>n</math>元集<math>S=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}</math>选<math>r</math>个元素，有<math>\binom nr</math>种方法。

必有<math>a_1</math>时，在<math>n-1</math>个元素中选<math>r-1</math>个元素，排除<math>a_1</math>，必有<math>a_2</math>时，在<math>n-2</math>个元素中选<math>r-1</math>个元素，排除<math>a_2</math>，如此类推，直到必有<math>a_{n-r+1}</math>时，在<math>r-1</math>个元素中选<math>r-1</math>个元素。

<math>\sum_{k=r}^n \binom {k-1}{r-1} =\binom nr</math><ref>{{cite journal|author=伍启期|year=1996|title=组合数列求和|journal=佛山科学技术学院学报(自然科学版)|issue=4|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-FSDX604.002.htm|access-date=2014-05-24|archive-date=2019-05-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20190502185942/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-FSDX604.002.htm|dead-url=no}}</ref>

==应用==
'''朱世杰恒等式'''可应用于[[等幂求和]]问题。例如：

:<math>\sum_{i=1}^n i=\sum_{i=1}^n \binom i1=\binom {n+1}2</math>

:<math>\sum_{i=1}^n i(i+1)=2\sum_{i=1}^n \binom {i+1}2=2\binom {n+2}3</math><ref>{{cite journal|author=田达武|year=2009|title=朱世杰恒等式及其应用|journal=数学教学通讯|issue=36|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXUJ200936022.htm|access-date=2014-05-24|archive-date=2020-01-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20200115072156/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXUJ200936022.htm|dead-url=no}}</ref>

==参考资料==
{{reflist}}

[[分类:组合数学]]