查看“︁本质奇点”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Essential singularity.png|right|220px|thumb|[[函数]]exp(1/''z'')的[[色相環複變函數圖形|函數圖形]]，在''z''=0处具有本质奇点，不同的颜色表示[[辐角]]值，而[[亮度]]则表示[[绝对值]]。图像中显示出函数在本质奇点附近从不同方向逼近奇点时的行为。与[[极点 (复分析)|极点]]附近全白不同，本质奇点附近是半黑半白的。]]

在[[复分析]]中，一个[[函数]]的'''本质奇点'''（Essential Singularity）又称'''本性奇点'''，是[[奇点 (数学)|奇点]]中的“嚴謹”的一类。函数在本质奇点附近会有“极端”的行为。

粗略来说，对[[复平面]] '''C''' 上的给定的[[开集|开子集]] ''U''，以及 ''U'' 中的一点 <math>a</math>，[[亚纯函数]] ''f''&nbsp;:&nbsp;''U''\{''a''}&nbsp;→&nbsp;'''C''' 在 <math>a</math> 处有本质奇点当且仅当它不是[[极点_(复分析)|极点]]也不是[[可去奇点]]。

例如，函数 <math>f(z) = e^{\frac{1}{z}}</math>在 <math>z=0</math> 处有一个本质奇点。

严格地说，点 <math>a</math> 是 <math>f</math> 的本质奇点当且仅当 <math>f</math> 在 <math> a</math> 处的极限 <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> 不存在（既不是一个复数，也不是无穷大）。这种情况会发生当且仅当 <math>f</math> 在 <math> a</math> 附近的每一个邻域中都有[[极点 (复分析)|极点]]，或者 <math>f</math> 在 <math> a</math> 处的[[洛朗级数|洛朗展开]]中含有无穷多个负指数项（即其{{tsl|en|Principal part|主部}}是[[无穷级数]]）。

亚纯函数在本质奇点附近的行为可以用{{tsl|en|Casorati–Weierstrass theorem|魏尔斯特拉斯-卡索拉蒂定理}}或更为强大的[[皮卡定理]]描述。皮卡定理说明：在 <math>f</math> 的本质奇点 <math> a</math> 附近的每一个邻域中都会取遍全体复数（或者除了一个值之外）。

==参见==
*[[整函数]]
*[[刘维尔定理 (复分析)|刘维尔定理]]
*[[极点 (复分析)|极点]]
*[[零点]]

==参考来源==
{{refbegin}}
*{{cite mathworld|urlname=EssentialSingularity|title=Essential Singularity|accessdate=18 February 2008|archive-date=2008-06-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20080622052946/http://mathworld.wolfram.com/EssentialSingularity.html|dead-url=no}}
*Lars V. Ahlfors; ''Complex Analysis'', McGraw-Hill, 1979
*Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; ''Advanced Engineering Mathematics''. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-842-65185-4
{{refend}}

== 外部链接 ==
* [[斯蒂芬·沃尔夫勒姆]]的'' [http://demonstrations.wolfram.com/AnEssentialSingularity/ 本质奇点] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/AnEssentialSingularity/ |date=20080531021125 }}''
* [http://planetmath.org/encyclopedia/EssentialSingularity.html Planet Math中的资料] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/EssentialSingularity.html |date=20080624062149 }}


[[Category:复分析|B]]