查看“︁本徵函數”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2022-11-27T03:13:39+00:00}}
{{NoteTA|G1=Math|T=zh-hans:本征函数;zh-hant:固有函數}}
在[[数学]]中，[[函数空间]]上定义的[[线性算子]] <math>A</math> 的'''本征函数'''（{{lang-en|Eigenfunction}}，又稱'''-{zh-hant:特徵函数; zh-hans:固有函数}-'''）就是对该空间中任意一个非零函数  <math>f</math> 进行变换仍然是函数 <math>f</math> 或者其标量倍数的函数。更加精确的描述就是

:<math>
\mathcal A f = \lambda f
</math>

其中 &lambda; 是[[标量 (数学)|标量]]，它是对应的[[特徵值]]。另外特徵值微分的解受到 <math>f</math> 边界条件的限制。当考虑限制条件的时候，只有特定的特徵值 <math>\lambda=\lambda_n</math>（<math>n=1,2,3,...</math>）对应于 <math>f=f_n</math> 的解（每个 <math>f_n</math> 对应于一个特徵值 <math>\lambda_n</math>）。分析 <math>A</math> 的最有效的方法就是检查其特徵向量是否存在。

例如，<math>f_k(x) = e^{kx}</math> 是[[微分算子]]

<math>
\mathcal A = \frac{d^2}{dx^2} - \frac{d}{dx},
</math>

的特征函数，对于任意的 <math>k</math>，有对应的本征值 <math>\lambda = k^2 - k</math>。如果在这个系统上加上限制条件，如在空间中某两个物理位置 <math>f=0</math>，那么只有特定的 <math>k=k_n</math> 才能满足这个限制条件，这样对应的离散本征值为 <math>\lambda_n=k_n^2-k_n</math>.

本徵函數在[[物理学]]的很多分支中都起着重要作用，其中一个重要的例子就是[[量子力学]]中的[[薛丁格方程]]

:<math>
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \mathcal H \psi
</math>
的解的形式为
:<math>
\psi(t) = \sum_k e^{-i E_k t/\hbar} \phi_k,
</math>

其中 <math>\phi_k</math> 是特徵值为 <math>E_k</math> 的算子 <math>\mathcal H</math> 的特征函数。只有特定的与特征函数 <math>\phi_k</math> 相关的特徵值 <math>E_k</math> 满足薛丁格方程这样的事实引出了量子力学的自然基础以及[[元素周期表]]，每个 <math>E_k</math> 定义了一个允许存在系统能量状态。这个方程成功地解释了[[氢]][[原子]]的谱特性被认为是20世纪[[物理学]]的一项巨大成就。

根据 [[哈密顿算子]] <math>\mathcal H</math> 的特性，可以知道它的特征函数是[[正交函数]]。但是对于其它算子的特征函数可能并不是这样，如上面提及的 <math>A</math>。正交函数 <math>f_i</math>（<math>i=1, 2, \dots,</math>）有以下特性
:<math>
0 = \int f_i f_j
</math>
其中 <math>i\neq j</math>，在这种情况下集合 <math>\{f_i \,|\, i \in I\}</math> 是线性无关的。

==参见==
* [[特徵向量]]

[[Category:泛函分析|T]]
[[Category:函数]]

[[de:Eigenwertproblem#Verallgemeinerung_auf_unendlich_dimensionale_Vektorr.C3.A4ume]]