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{{NoteTA|G1=物理學}}
在[[量子力學]]裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，'''期望值'''（{{lang|en|expectation value}}）是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。
	
量子力學顯露出一種內稟統計行為。同樣的一個實驗重複地做很多次，每次實驗的測量結果通常不會一樣，只有從很多次的實驗結果計算出來的統計平均值，才是可複製的數值。量子理論不能預測單次實驗的測量結果，量子理論可以用期望值來預測多次實驗得到的統計平均值。

採用[[狄拉克標記]]，假設量子系統的[[量子態]]為 <math>|\psi\rang</math> ，則對於這量子態，可觀察量 <math>O</math> 的期望值 <math>\lang O\rang</math> 定義為<ref name=Sakurai>{{Citation  | last1 = Sakurai  | first1 = J. J.  |last2 = Napolitano  | first2 = Jim  | title = Modern Quantum Mechanics  | edition = 2nd  | publisher = Addison-Wesley  | year = 2010 | isbn =978-0805382914  }}</ref>{{rp|24-25}}
:<math> \lang O \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang</math> ；

其中，<math>\hat{O}</math> 是對應於可觀察量 <math>O</math> 的算符。

==量子力學形式論==
雖然量子力學與古典力學計算實驗平均值的方法相同，但是，量子力學形式論裏對於[[可觀察量]]的數學表述與古典的[[測度|測度論]]有很顯著的不同。對應於可觀察量的量子算符可能有很多[[本徵值]]，而測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的[[本徵態]]，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態是這[[本徵態]]。

以數學表述，對應於可觀察量 <math>O</math> 的量子算符 <math>\hat{O}</math> 是一個[[厄米算符]]，量子態是以[[態向量]]的形式存在於[[向量空間]]。<ref name=Sakurai/>{{rp|11}}假設量子系統的量子態為 <math>|\psi\rang</math> ，則對於這量子態，可觀察量 <math>O</math> 的期望值 <math>\lang O\rang</math> 定義為<ref name=Sakurai/>{{rp|24-25}}
:<math> \lang O \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang</math> 。

假設算符 <math>\hat{O}</math> 的一組[[本徵態]] <math>|e_i\rang,\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots\ </math> 形成了一個具有[[正交歸一性]]的[[基底]]：
:<math> \lang  e_i  |e_j\rang=\delta_{ij}</math> ；

其中，<math>\delta_{ij}</math> 是[[克羅內克函數]]。

[[本徵態]] <math>|e_i\rang</math> 的本徵值為 <math>O_i</math> ：
:<math>\hat{O} |e_i \rang=O_i|e_i \rang</math> 。

量子態 <math>|\psi\rang</math> 可以展開為這些本徵態的線性組合：
:<math>|\psi\rang=\sum_i c_i|e_i\rang</math> ；

其中，<math>c_i=\lang  e_i |\psi \rang</math> 是複係數，是在量子態 <math>|e_i\rang</math> 裏找到量子態 <math>|\psi\rangle</math> 的[[機率幅]]。<ref name=Sakurai/>{{rp|50}}

應用全等式
:<math> \sum_{i} |e_i\rang\lang  e_i |=1</math> ，

可觀察量 <math>O</math> 的期望值可以寫為
:<math>\begin{align} \lang O \rang & = \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang \\
 & = \sum_{i,j} \lang\psi|e_i\rang\lang  e_i |\hat{O}|e_j\rang\lang  e_j |\psi \rang \\
 & = \sum_{i,j} \lang\psi|e_i\rang\lang  e_i |e_j\rang\lang  e_j |\psi \rang O_i \\
 & = \sum_i |\lang  e_i |\psi \rang|^2 O_i \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

這表達式很像是一個[[算術平均數|算術平均式]]，它表明了期望值的物理意義：本徵值 <math>O_i</math> 是實驗的可能結果，對應的係數 <math>|\lang e_i|\psi\rang|^2=|c_i|^2</math> 是這結果可能會發生的[[機率]]。總合所有本徵值與其對應的機率係數的乘積，就可以得到期望值。

==動力量子系統的期望值==
當思考動力量子系統時，態向量 <math>|\psi\rang</math> 或[[算符]] <math>\hat{O}</math> ，兩者之中，任何一個，都可以設定為與時間有關，這決定於採用[[薛丁格繪景]]或[[海森堡繪景]]。不論選擇的是那一種繪景，最後求得的期望值都是相同的。

在[[海森堡繪景]]裏，算符被設定為與時間有關，而量子態則在初始時間 <math>t=0</math> 就被固定，與時間無關。另一種稱為[[薛丁格繪景]]的理論方法設定量子算符與時間無關，又設定量子態與時間有關。在概念方面或在數學方面，這兩種繪景等價，推導出的結果一樣。大多數初級量子力學教科書採用的是薛丁格繪景，通過生動活潑的量子態，學生可以迅速地瞭解量子系統如何隨著時間演變。海森堡繪景比較適用於研究一些像[[對稱性]]或[[守恆定律]]的基礎論題領域，例如[[量子場論]]，或者研究超大[[自由度]]系統的學術，例如[[統計力學]]。<ref name=Gottfried>{{cite book
 | last1 =Gottfried
 | first1 =Kurt
 | last2 =Yan
 | first2 =Tung-Mow
 | title =Quantum Mechanics: Fundamentals
 | url =https://archive.org/details/quantummechanics0000gott_j7e1
 | publisher =Springer
 | edition =2nd, illustrated
 | date =2003
 | pages =pp. 65
 | isbn =9780387955766
}}</ref>

==系综平均值==
[[File:Stern-Gerlach experiment zh.png|thumb|250px|設定[[斯特恩-革拉赫實驗]]儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋<math>|\uparrow\rangle</math>或下旋<math>|\downarrow\rangle</math>。]]
[[系綜]]是一組量子系統。概念而言，在系綜裏，量子系統的數量為無窮多。系綜又分為[[純系綜]]與[[混系綜]]。純系綜的每一個量子系統都具有同樣的量子態，這量子態也可以用來代表純系綜。前面幾節所論述的對象主要是純系綜。<ref name=Sakurai/>{{rp|178-185}}例如，從[[斯特恩-革拉赫實驗]]儀器分裂出來的兩道銀子束，一道是量子態為上旋的純系綜 <math>\mathcal{E}_{up}</math> ，另一道是量子態為下旋的純系綜 <math>\mathcal{E}_{down}</math> 。

混系綜的量子系統可以具有不同的量子態 <math>|\psi^{(i)}\rang</math> 。例如，在有一種混系綜 <math>\mathcal{E}_{mix}</math> 的所有量子系統裏，量子態為上旋的佔50%，量子態為上旋的佔50%。混系綜不能用單獨態向量設定，混系綜是用[[密度算符]] <math>\hat{\rho}</math> 設定：
:<math> \hat{\rho}= \sum_i w_i  |\psi^{(i)}\rang\lang\psi^{(i)} |</math> ；

其中，<math>w_i </math> 是找到量子態為 <math>|\phi_i\rang</math> 的量子系統在系綜裏的[[機率]]。

*純系綜 <math>\mathcal{E}_{up}</math> 的密度算符為 <math> |\uparrow\rang\lang\uparrow | </math> 。
*純系綜 <math>\mathcal{E}_{down}</math> 的密度算符為 <math>|\downarrow\rang\lang\downarrow |</math> 。
*混系綜 <math>\mathcal{E}_{mix}</math> 的密度算符為 <math>\frac{1}{2}( |\uparrow\rang\lang\uparrow |  + |\downarrow\rang\lang\downarrow |)</math> 。

以算符 <math>\hat{O}</math> 的[[本徵態]] <math>|e_i\rang,\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots\ </math> 形成的基底來表示對應於密度算符的[[密度矩陣]] <math>\rho</math> ：
:<math> \rho_{jk}= \lang e_j|\rho|e_k\rang=\sum_i w_i \lang e_j|\psi^{(i)}\rang\lang \psi^{(i)} |e_k\rang </math> ；

對於系綜測量可觀察量 <math>O</math> 得到的「系縱平均值」又稱為「系綜期望值」，簡稱「期望值」，以方程式表示為
:<math>\begin{align}\lang O\rang & = \sum_i w_i  \lang \psi^{(i)} |\hat{O} | \psi^{(i)} \rang \\
 & = \sum_i\sum_j w_i  \lang \psi^{(i)} |e_j\rang\lang  e_j |\hat{O}| \psi^{(i)} \rang \\
 & = \sum_i\sum_j w_i  \lang \psi^{(i)} |e_j\rang\lang  e_j | \psi^{(i)} \rang O_j \\
 & = \sum_i\sum_j w_i  |\lang \psi^{(i)} |e_j\rang|^2 O_j \\
\end{align}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

對於一般可觀察量 <math>A</math> ，系縱平均值表示為
:<math>\begin{align}\lang A\rang & = \sum_i w_i  \lang \psi^{(i)} |\hat{A} | \psi^{(i)} \rang \\
 & = \sum_i\sum_{j,k} w_i  \lang \psi^{(i)} |e_j\rang\lang  e_j |\hat{A}| e_k\rang\lang  e_k |\psi^{(i)} \rang \\
 & = \sum_i\sum_{j,k} w_i  \lang  e_k |\psi^{(i)} \rang\lang \psi^{(i)} |e_j\rang\lang  e_j |\hat{A}| e_k\rang \\
 & = \sum_{j,k} \rho_{kj}\lang  e_j |\hat{A}| e_k\rang  \\
 & = Trace(\rho A)  \\
\end{align}
</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>Trace(\rho A)</math> 是矩陣 <math>\rho A</math> 的[[跡數]]。

總結，
:<math> \lang A \rang= \mathrm{Trace} (\rho A) =  \sum_i w_i \lang \psi_i | A| \psi_i \rang=\sum_i w_i \lang A \rang_{\psi_i} </math> ；

其中，<math>\lang A \rang_{\psi_i}</math> 是對於量子態 <math>\psi_i</math> ，可觀察量 <math>A</math> 的期望值。

==簡例==
舉一個相當簡單的例子，假設 <math>\hat{\Lambda}</math> 是一個[[投影|投影算符]]，則本徵值為 <math>0</math> 或 <math>1</math> 。這對應於一種「是非題」類型的物理實驗，這例子的期望值是實驗結果為 <math>1</math> 的機率，可以計算為
:<math> \lang \Lambda\rang= | \hat{\Lambda} \psi |^2</math> 。

==位置空間案例==
採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})</math> ，是實值[[定義域]]的[[平方可積函數]]的空間。<ref name=Sakurai/>{{rp|11}}

波函數 <math>\psi(x)</math> 定義為
:<math>\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang</math> ；

其中，<math>|x\rang</math> 是[[位置算符]] <math>\hat{x}</math> 的[[本徵態]]。

兩個態向量的內積是 
:<math>\lang \psi_1| \psi_2 \rang = \int \psi_1^*(x)\psi_2(x) \, \mathrm{d}x</math> 。

對於任意量子態 <math>\psi</math> ，可觀察量 <math>x</math> 的期望值為
: <math> \lang x \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi | \hat{x} |\psi \rang </math> 。

[[位置算符]] <math>\hat{x}</math> 作用於量子態 <math>|\psi\rang</math> 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 <math>\psi(x)</math> 與 <math>x</math> 的乘積，所以，
: <math> \lang x \rang =\int_{ - \infty}^{\infty}  \psi^\ast (x) \, x \, \psi(x) \, \mathrm{d}x
= \int_{ - \infty}^{\infty}  x \, |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x </math> 。

粒子處於 <math>x</math> 與 <math>x+dx</math> 微小區間內的機率是
:<math> p(x) \mathrm{d}x = \psi^*(x)\psi(x) \mathrm{d}x</math> 。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

通常而言，對於可觀察量 <math>O</math> 的量子算符 <math>\hat{O}</math> ，假若能夠找到其表現於位置空間的位置算符 <math>\hat{\mathfrak{O}}</math> 的形式，就可以計算出 <math>O</math> 的期望值。例如，表現於位置空間的[[動量算符]] <math>\hat{\mathfrak{P}}</math> 的形式為：
:<math>\hat{\mathfrak{P}}= \frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math> 。

所以，[[動量]]的期望值為
: <math> \lang P \rang=\frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{\infty}  \psi^*(x) \,  \frac{d\psi(x)}{dx}\, \mathrm{d}x</math> 。

==參閱==
*[[維里定理]]
*[[埃倫費斯特定理]]

==參考文獻==
{{reflist}}
* {{cite book  | last = Isham  | first = Chris J | title = Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations  | url = https://archive.org/details/lecturesonquantu0000isha  | publisher = Imperial College Press | date = 1995 | isbn = 978-1860940019}}

[[Category:量子力學|Q]]

[[de:Erwartungswert#Quantenmechanischer Erwartungswert]]