查看“︁朗道分布”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=math
|1=zh-hans:复;zh-hant:複;
}}
{{Probability distribution
  | name       = 朗道分布
  | type       = density
  | pdf_image  = [[File:Landau Distribution PDF.svg|350px]]<br /><small><math>\mu=0,\; c=\pi/2</math></small>
  | support    = <math>\mathbb{R}</math>
  | parameters = <math>c \in(0,\infty)</math> — 宽度参数 <br>
                 <math>\mu\in(-\infty,\infty)</math> — 位置参数
  | char       = <math>\exp\left(i\mu t -\frac{2ict}{\pi}\log|t| - c|t|\right)</math>
  | mean       = 无定义
  | variance   = 无定义
  | mgf        = 无定义
  | pdf        = <math> \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{e^{-ct} \cos\left( (x-\mu)t+\frac{2ct}{\pi}\log{t} \right)\, dt }</math>
  }}

在[[概率论]]中，'''朗道分布'''（{{lang-en|Landau distribution}}）<ref>{{ cite journal | last = Landau | first = L. | title = On the energy loss of fast particles by ionization | journal = J. Phys. (USSR) | volume = 8 | page = 201 | date = 1944 }}</ref>是因物理学家[[列夫·朗道]]而得名的一种[[概率分布]]。由于它所具有的「[[长尾]]」现象，这种分布的各阶[[矩 (数学)|矩]]（如数学期望与方差）都因发散而无法定义。这种分布是[[稳定分布]]的一个特例。

==定义==
标准朗道分布的[[概率密度函数]]由以下[[复数 (数学)|复]][[积分]]式表示，

:<math>p(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\! e^{s \log s + x s}\, ds , </math>

其中''c''为任意正实数，log 为[[自然对数]]。可以证明，上式结果与''c''的取值无关。在复平面上做[[曲线积分#複曲线积分|围道积分]]，可得到便于计算的实积分式，

:<math>p(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty\! e^{-t \log t - x t} \sin(\pi t)\, dt . </math>

上式即 <math>\mu=0,\; c=\pi/2</math> 的标准朗道分布概率密度函数。通过将标准朗道分布扩展到一个[[位置-尺度分布族]]，就可以获得完整的朗道分布族

:<math>p(x;\mu,c) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{e^{-ct} \cos\left( (x-\mu)t+\frac{2ct}{\pi}\log{t} \right)\, dt }. </math>

其[[特徵函數 (概率論)|特徵函數]]可表示如下，

:<math>\varphi(t;\mu,c)=\exp\!\left(i\mu t - c|t| - \frac{2ict}{\pi}\log|t| \right) , </math>

两个实参数的取值范围 <math>\mu\in(-\infty,\infty)</math>，<math>c \in(0,\infty)</math>，调整 <math>\mu,\; c</math> 分别实现朗道分布的平移和缩放<ref>{{ cite journal | last = Meroli| first = S. | title = Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers | journal = JINST | volume = 6 | page = 6013 | date = 2011 }}</ref>。

==相关性质==
[[Image:Landau_pdf.svg|300px|thumb|right|朗道分布在 <math>\mu=0,\,c=1</math> 的近似]]

从特征函数出发可以推导出：
* 平移：若 <math>X \sim \textrm{Landau}(\mu,c)</math> 则 <math> X + m \sim \textrm{Landau}(\mu + m ,c)</math>。
* 缩放：若 <math>X \sim \textrm{Landau}(\mu,c)</math> 则 <math> aX \sim \textrm{Landau}(a \mu-2ac/\pi\cdot\log{a},\,ac)</math>。
* 可加性：若 <math>X \sim \textrm{Landau}(\mu_1,c_1),\, Y \sim \textrm{Landau}(\mu_2,c_2)</math> 则 <math> X+Y \sim \textrm{Landau}(\mu_1+\mu_2,\,c_1+c_2)</math>。
以上三条性质保证了朗道分布是一种[[稳定分布]]，它的稳定参数和偏度参数 <math>\alpha=\beta=1</math>。<ref>{{ cite book | last = Gentle | first = James E. | title = Random Number Generation and Monte Carlo Methods | url = https://archive.org/details/matrixalgebrathe00libg_597 | edition = 2nd | publisher = Springer | location = New York, NY | date = 2003 | series=Statistics and Computing | isbn =978-0-387-00178-4 | doi = 10.1007/b97336 |page=[https://archive.org/details/matrixalgebrathe00libg_597/page/n210 196]}}
</ref>

当 <math>\mu=0,\,c=1</math> 时，朗道分布可以近似表示为<ref>{{ cite book | last = Behrens | first = S. E. | last2 = Melissinos | first2 = A.C. | title = Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981) }}</ref><ref>{{cite web|title=Interaction of Charged Particles|url=http://www.studio-miradoli-progettazione.it/About%20Radioactivity/Radioactivity%20Tools/node10.html|accessdate=14 April 2014|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120630072706/http://www.studio-miradoli-progettazione.it/About%20Radioactivity/Radioactivity%20Tools/node10.html|archivedate=2012年6月30日}}</ref>

:<math>p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{1}{2}(x + e^{-x})\right\}.</math>



== 参考文献 ==
{{Reflist|30em}}

{{概率分布类型列表}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:稳定分布]]