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{{Expert needed|subject=数学|time=2021-9-23}}

'''朗蘭茲綱領'''（Langlands program）是[[數學]]中一系列影響深遠的[[構想]]，聯繫[[數論]]、[[代數幾何]]與[[约化群]][[表示理論]]；綱領最初由[[羅伯特·朗蘭茲]]於1967年在一封給[[安德烈·韦伊]]的信件<ref>{{Cite web|title=Robert Langlands' work - functoriality|url=http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html|access-date=2021-09-22|work=sunsite.ubc.ca|archive-date=2021-02-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20210224180013/http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html|dead-url=no}}</ref>中提出。 朗蘭茲綱領被廣泛視為現代數學研究中最大的單項項目，被{{le|愛德華·弗倫克爾|Edward Frenkel}}描述為“數學的一種大統一理論”<ref>{{cite web |first= |last= |title=Math Quartet Joins Forces on Unified Theory |work=[[Quanta Magazine|Quanta]] |date=December 8, 2015 |url=https://www.quantamagazine.org/math-quartet-joins-forces-on-unified-theory-20151208/ |access-date=2019-05-31 |archive-date=2021-01-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210122092618/https://www.quantamagazine.org/math-quartet-joins-forces-on-unified-theory-20151208 |dead-url=no }}</ref>。

== 起源：數論 ==
我们可以[[二次互反律]]之推廣[[阿廷互反律]]為朗蘭茲綱領之起點： 給定一個'''Q'''上的、[[伽羅瓦群]]為[[可交換群]]的[[數域]]，[[阿廷互反律]]向這個伽羅瓦群的任何一支一維[[群表示論|表示]]配上一枚[[L函數]]，並斷言：此等L-函數俱等於某些 [[狄利克雷L函數]]（[[黎曼ζ函數]]的類推，由[[狄利克雷特徵]]表達）。此二種L-函數之間的準確的聯繫構成了阿廷互反律。

若給定不可交換伽羅瓦群及其高維表示，我们仍可定義一些自然的相配的L-函數——[[阿廷L函數]]。

== 推廣：自守表示理論架構 ==
朗蘭茲洞察到：當找到適當的狄利克雷L-函數的推廣，便有可能推廣阿廷互反律。

[[赫克]]（''Erich Hecke''）曾聯繫全純[[自守形式]]（定義於上半複平面上、滿足某些[[函數方程]]的[[全純函數]]）與[[狄利克雷L函數]]。朗蘭茲推廣赫克理論，以應用於[[自守尖點表示]]（[[自守尖點表示]]是'''Q'''-[[阿代爾環]]上[[一般線性群]] GL<sub>''n''</sub> 的某類無限維不可約表示）。

朗蘭茲為這些''自守表示''配上''L-函數''，然後猜想：

: '''互反猜想.''' 每一來自給定[[數域]]的伽羅瓦群的有限維表示的阿廷 L-函數，都相等於某一來自自守尖點表示的L-函數。

若要建立一一對應，須考慮較[[伽羅瓦群]]的適當擴張，稱作[[韋依-德利涅群]]。在可交換的例子，這相當於將狄利克雷特徵推廣為[[赫克特徵]]（[[德文]]舊稱 ''Größencharakter''）。互反猜想蘊含[[阿廷猜想]]。

== 再推廣：函子性原則 ==
朗蘭茲再進一步推廣：
*以任何連通[[约化群]] ''G'' 代替上文中的一般線性群 GL<sub>''n''</sub>；
*構築複李群 <sup>L</sup>''G''（所謂[[朗蘭茲對偶群]]，或'''L群'''）；
*以自守表示的'''L包'''代替自守表示；每個L包是自守表示組成的有限集，屬同一L包的表示稱作'''L不可辨'''的。
*向每一個 ''G''的自守尖點表示和每一個 <sup>L</sup>''G''的有限維表示，配與一個[[L-函數]]；同一L包中的表示有相同的 L-函數及 <math>\epsilon</math>-因子。朗蘭茲並[http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html#problems 猜想] {{Wayback|url=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html#problems |date=20210224180013 }}：此兩個 L-函數滿足某[[函數方程]]<!-- 此函數方程是其他已知L-函數的函數方程之推廣此函數方程的涵義是... -->。

朗蘭茲更構想了一道非常廣泛的'''函子性原則（[http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html#edinburgh Functoriality Principle] {{Wayback|url=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html#edinburgh |date=20210224180013 }}）'''：

: '''函子性猜想.''' 若指定二约化群，並指定其相應的L群之間的可容許同態，則二约化群的自守表示之間應該有某種與其 L-函數相容之關係。

函子性猜想蘊含廣義[[拉馬努金猜想]]。

函子性構想本質上是一種[[誘導表示]]構造（在传统的[[自守形式]]理论中称为'''提升'''，在某些特殊情况下已知），因而是協變的（相反地，[[受限表示]]構造是逆變的）。各種直接構造的嘗試只產生了一些條件性的结果。

上述各猜想亦有其他域上的版本：[[數域]]（最早期的版本）、[[局部域]]及[[函數域]]（即'''F'''<sub>''p''</sub>(''t'')的[[有限擴張]]； 其中''p'' 是一 [[素數]] ， '''F'''<sub>''p''</sub>(''t'') 是 ''p'' 元有限域上的[[有理函數]]域）。局部域的與數域的朗蘭茲綱領滿足一些相容性，二者之方法亦互為用。

== 朗蘭茲綱領的指導思想 ==
朗蘭茲綱領建基於當時已存在的念頭：[[盖尔范德]]之前幾年寫的 《尖點形式之啟示》（''The Philosophy of Cusp Forms''）；[[哈瑞希·昌得拉]]（''{{lang|en|Harish-Chandra}}''）研究 [[半單李群]] 的結果和方法；而技術上則有[[塞爾伯格]]等的[[塞爾伯格迹公式]]。

朗蘭茲的創見，除技術之深以外，在於他提出上述理論與[[數論]]的直接聯係，以及其構想中豐富的總體結構（即所謂'''函子性'''者也）。

例如在哈瑞希·昌得拉的工作中，我们可見以下原則： 
:''「任何對某一半單（或约化）李群可能做的，應對所有都做。」''

故一旦認清一些低維李群 —如 GL<sub>2</sub> —在模形式理論之角色，並反觀 GL<sub>1</sub> 在[[類域論]]之角色，我们至少可推測一般 GL<sub>''n''</sub>  的情況。

''尖點形式''之念頭來自[[模曲線]]上的尖點，在[[譜理論]]上對應於[[離散譜]]；對比之下[[連續譜]]則來自[[艾森斯坦級數]]。但當給定的李群越大，則[[拋物子群]]越多，技術上則越複雜。

在此等研究途徑中不乏各種技巧——通常基於[[列維分解]]等事實、具誘導表示的性質 ——但這領域一直都很困難。

在[[模形式]]方面，亦有例如[[希爾伯特模形式]]、 [[西格爾模形式]] 和 [[Theta 函數|theta-級數]]等等面向。

==內窺現象==
'''內窺'''（{{lang-en|''Endoscopy''}}）意謂「在一般共軛中窺見穩定共軛」；共軛意謂群的共軛作用 <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>；穩定共軛則意謂可取 <math>g \in G(\bar{F})</math>；穩定共軛類可分解為有限個一般共軛類。穩定共軛與一般共軛之別造成上述的L-不可辨性。

亞瑟-塞爾伯格跡公式是處理函子性猜想及[[志村簇]]的[[哈瑟-韋伊ζ函數]]之利器。在技術上，我们需要一'''穩定跡公式'''，穩定化有賴於將 <math>G</math> 之一般軌道積分表成'''內窺群'''上的穩定軌道積分。內窺理論旨在配對群及其內窺群的軌道積分，稱作'''內窺傳遞'''；其關鍵則是所謂的[[基本引理]]。

內窺傳遞不僅是工具，也涵攝函子性猜想的一些特例。

==幾何化朗蘭茲綱領==
{{main|几何朗兰兹纲领}}
數域上的朗蘭茲綱領可以翻譯到幾何的框架，大略步驟如下：
# 以緊[[黎曼曲面]] <math>C</math> 的[[亞純函數|亞純]][[函數域]]取代[[數域]]
# 以[[基本群]]取代伽羅瓦群
# 以[[局部系統]]取代伽羅瓦表示
# 以秩 ''n'' [[向量叢]]的模空間 <math>\mathrm{Bun}_{n/C}</math> 取代 <math>\mathrm{GL}(n,\mathbb{Q})\backslash\mathrm{GL}(n,\mathbb{A}_\mathbb{Q})/K</math>
# 以[[反常層]]取代自守形式
# 以[[赫克本徵層]]取代赫克本徵形式

=== 幾何化朗蘭茲綱領與規範場論 ===
2006年，[[愛德華·威滕]]和 Anton Kapustin 建議：
*以[[D-模]] (D-module)演繹赫克本徵層；
*以[[磁單極]]演繹赫克算子（Hecke operator）。

=== 外部連結 ===
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0303074 Edward Frenkel, Recent Advances in the Langlands Program]
* [http://arxiv.org/abs/hep-th/0512172 Edward  Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/hep-th/0512172 |date=20210224071223 }}
* [http://arxiv.org/abs/hep-th/0604151/ Anton Kapustin, Edward Witten, Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/hep-th/0604151/ |date=20210303014238 }}
* [http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands.html Geometric Langlands Seminar] {{Wayback|url=http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands.html |date=20080515074225 }}
* [https://web.archive.org/web/20060901203600/http://www2.math.northwestern.edu/langlands/ Geometric Langlands Program]

==部份結果==
部份朗蘭茲綱領的項目已經完成。
* GL<sub>n</sub> 關於局部域的部份：由Michael Harris 和 Richard Taylor 合作完成<ref>{{Cite web|title=Harris, M. and Taylor, R.: The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties. (AM-151).|url=http://pup.princeton.edu/titles/7235.html|access-date=2021-09-22|date=2006-09-01|work=web.archive.org|archive-date=2006-09-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20060901105859/http://pup.princeton.edu/titles/7235.html|dead-url=unfit}}</ref>；Henniart<ref>http://www.springerlink.com/content/h5yfh3x99xr5hgm1/ {{Dead link|date=2020年2月|bot=InternetArchiveBot|fix-attempted=yes}}</ref>亦導出了一較簡短的證明。
* 關於 GL<sub>n</sub> 關於函數域上的部份：1999年[[洛朗·拉福格]]證明之[http://arxiv.org/abs/math.NT/0212417] {{Webarchive|url=https://archive.today/20121205050710/http://arxiv.org/abs/math.NT/0212417 |date=2012-12-05 }}。

== 獎項 ==
[[洛朗·拉福格]]憑其在函數域上的工作獲得2002年[[菲爾茲獎]]。拉福格的工作延續了較早期的[[德林費爾德]]得菲爾茲獎（1990）的研究。數域方面只有一些特例被證明了，有些是朗蘭茲自己完成的。[[皮特·舒尔策]]也因在「動機理論」和朗蘭茲綱領這兩個代數幾何學的大方向上有傑出貢獻而於2018年獲得菲爾茲獎。

== 參考 ==
* [http://www.ams.org/online_bks/pspum332 Corvallis Proceedings (1979)] {{Wayback|url=http://www.ams.org/online_bks/pspum332 |date=20061206022308 }} A.Borel, W. Casselman（編輯）, AMS,  ISBN 0-8218-3371-2（網上書，免費）
* Stephen Gelbart: ''An Elementary Introduction to the Langlands Program'', Bulletin of the AMS v.10 no. 2  April 1984.
*[http://www.ams.org/bull/2003-40-01/S0273-0979-02-00963-1/S0273-0979-02-00963-1.pdf J. Arthur] {{Wayback|url=http://www.ams.org/bull/2003-40-01/S0273-0979-02-00963-1/S0273-0979-02-00963-1.pdf |date=20081114125916 }}：The Principle of Functoriality; pp.39-53, No. 1, Volume 40, Bulletin of the AMS; October, 2002.
* Edward Frenkel: ''Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory'', [http://www.arxiv.org/abs/hep-th/0512172 hep-th/0512172] {{Wayback|url=http://www.arxiv.org/abs/hep-th/0512172 |date=20210224071223 }}
*J. Bernstein, S. Gelbart, ''An Introduction to the Langlands Program'', ISBN 3764332115
*[http://www.fields.utoronto.ca/audio/02-03/#CMI_summer_school Summer School, Toronto,June 2003] {{Wayback|url=http://www.fields.utoronto.ca/audio/02-03/#CMI_summer_school |date=20201105192135 }}-- Audio and notes
*[https://web.archive.org/web/20060902162106/http://www.math.ias.edu/pages/publications/video-lectures.php Conference, Princeton, 2005] -- Video
*Michèle Vergne, [http://arxiv.org/abs/math/0607479 All what I wanted to know about Langlands program and was afraid to ask] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/0607479 |date=20210506135708 }}，2006.

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<references />
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