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在[[数学]]中，'''朗斯基行列式'''（Wronskian）名自[[波兰]]数学家[[約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基]]，是用于计算[[微分方程]]的[[解空间]]的[[函数]]。

对于给定的 ''n'' 个''n-1'' 次[[连续]][[可微]]函数，''f<sub>1</sub>''、...、''f<sub>n</sub>''，它们的朗斯基行列式 ''W(f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub>)'' 为：

:<math>
W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix} 
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}
</math>

行列式的第 ''i'' 列是''f<sub>1</sub>''、...、''f<sub>n</sub>'' 各函数的 ''i-1'' 次[[导数]]。组成这个行列式的 ''n'' 阶[[方阵]]也称作这 ''n'' 个函数的'''基本矩阵'''。

在解[[线性微分方程]]时，朗斯基行列式可以用[[阿贝尔恒等式]]来计算。

== 朗斯基行列式与线性无关解 ==

朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定[[区间]]上的[[线性相关]]性。

对于 ''n'' 个''n-1'' 次[[连续]][[可微]]函数 ''f<sub>1</sub>''、...、''f<sub>n</sub>''，它们的朗斯基行列式 ''W(f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub>)'' :

:<math>
W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix} 
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}
</math>

定理：

:如果 ''f<sub>1</sub>''、...、''f<sub>n</sub>'' 在一個區間 [''a'', ''b''] 上'''線性相關'''，則 ''W(f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub>)'' 在區間 [''a'', ''b''] 上'''恆等於零'''。

也就是说，如果在某些点上 ''W(f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub>)'' '''不等于零'''，则 ''f<sub>1</sub>''、...、''f<sub>n</sub>'' '''线性无关'''

注意，若 ''W(f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub>)'' 在区间 [''a'',''b''] 上恒等于零，函数组'''不一定'''线性相关。

== 齐次线性微分方程 ==

考虑 ''n'' 阶线性[[微分方程]]：
:<math> \frac{d^{n} x}{dt^{n}} + a_1(t) \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(t) \frac{dx}{dt} +a_n(t)x= f(t)  \qquad  \qquad  \qquad (1)</math> 

其中<math> a_1(t), \ a_2(t), \ \cdots , \ a_n(t) , \ f(t) </math>是区间 [''a'',''b''] 上的连续函数。并考虑<math>f(t) = 0 </math>，即 ''n'' 阶齐次线性[[微分方程]]的情形：
:<math> \frac{d^{n} x}{dt^{n}} + a_1(t) \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(t) \frac{dx}{dt} +a_n(t)x= 0 \qquad  \qquad  \qquad  \quad (2) </math> 

对于一组给定的初始值：
:<math> x(0) = x_0 , \ \frac{dx}{dt}(0) = x_1 , \ \cdots , \ \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}}(0) = x_{n-1} </math>

方程 (1) 有唯一解<math> x= \phi (t) </math>。如果初始值不定的话，(2) 的任一解加上<math> x= \phi (t) </math>仍然是 (1) 的解。而对于 (2) ，任意''k''个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解，因此 (2) 的解集构成一个[[线性空间]]，称为 (2) 的'''解空间'''。

=== 定理的证明 ===
如果 ''f<sub>1</sub>''、...、''f<sub>n</sub>'' 在一个区间 [''a'',''b''] 上线性相关，则存在不全为零的系数<math> c_1, \ c_2 \ \cdots , \ c_n </math>使得对区间 [''a'',''b''] 上的任意 ''t''，

:<math>c_1 f_1(t)+c_2 f_2(t) + \cdots c_n f_n(t)=0</math>

因为“微分”是线性算子，所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组：

:<math>\begin{cases} c_1 f_1(t)+c_2 f_2(t) + \cdots c_n f_n(t)=0  \\ c_1 f_1'(t)+c_2 f_2'(t) + \cdots c_n f_n'(t)=0 \\ \ldots \\c_1 f_1^{(n-1)}(t)+c_2 f_2^{(n-1)}(t) + \cdots c_n f_n^{(n-1)}(t)=0   \end{cases} </math>

将<math> c_1, \ c_2 \ \cdots , \ c_n </math>看作变量，则上式变为一个 ''n'' 元齐次线性方程组，由于这个方程有非零解，[[克萊姆法則|系数矩阵]]的行列式 ''W(f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub>)'' = 0。

进一步可以证明， ''W(f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub>)'' 要么在区间 [''a'',''b''] 上恒等于零，要么处处不为零（没有零根）。于是可以证明 (2) 有 ''n'' 个线性无关的解，并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以， (2) 的解空间是一个 ''n'' 维线性空间。 (2) 一组 ''n'' 个线性无关的解称作它的一个'''基本解组'''。

== 例子 ==

1. 考虑三个函数：1、''x''和''x<sup>2</sup>''，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

::<math>
W = 
\begin{vmatrix}
x^2 & x & 1 \\
2x & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= -2.
</math>

不等于零，因此，这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。

2.考虑另三个函数：1、''x<sup>2</sup>''和2''x<sup>2</sup>''+3，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

::<math>
W = 
\begin{vmatrix}
2x^2 + 3 & x^2 & 1 \\
4x & 2x & 0 \\
4 & 2 & 0
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0.
</math>

事实上三者线性相关。

3.上面已经提到，朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。下面是一个反例：考虑两个函数，''x<sup>3</sup>''和|''x<sup>3</sup>''|，即''x<sup>3</sup>''的[[绝对值]]。计算两者的朗斯基行列式

::<math>
W = \left\{
\begin{matrix}
  \begin{vmatrix}
  x^3 & -x^3 \\
  3x^2 & -3x^2
  \end{vmatrix}
= -3x^5 + 3x^5 = 0,  x < 0 \\
  \begin{vmatrix}
  x^3 & x^3 \\
  3x^2 & 3x^2
  \end{vmatrix}
= 3x^5 - 3x^5 = 0, x \geq 0
\end{matrix}
\right.
</math>

他们的朗斯基行列式恒等于零，但两者显然线性无关。

== 参考 ==
*[[微分方程]]
*[[行列式]]
*[[线性方程组]]

== 外部链接 ==
* [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/wronskian.aspx Paul's Online Math Notes，更多的例子。（英文）] {{Wayback|url=http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/wronskian.aspx |date=20210328033906 }}

[[Category:微分方程|L]]
[[Category:行列式]]
[[Category:波兰科技]]