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{{noteTA
|G1=物理學
}}
[[File:Finite_Square_Potential_Well.JPG|thumb|200px|有限深方形阱。阱寬為<math>L\,\!</math>。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為<math>V_0\,\!</math>。阱外位勢保持為<math>V_0\,\!</math>。]]
在[[量子力學]]裏，'''有限深方形阱'''，又稱為'''有限深位勢阱'''，是[[無限深方形阱]]的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外[[位勢]]為有限值的位勢阱。關於一個或多個[[粒子]]，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為'''有限深位勢阱問題'''。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的[[機率]]大於0。

在[[經典力學]]裏，假若，粒子的[[能量]]小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。

==一維阱定義==
一維有限深方形阱的阱寬為<math>L\,\!</math>，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為<math>x= - L/2\,\!</math>與<math>x=L/2\,\!</math>。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為<math>V_0\,\!</math>。阱外位勢保持為<math>V_0\,\!</math>。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的[[波函數]]<math>\psi\,\!</math>也不同，標記為：<ref>{{cite book | author=Griffiths, David J. | title=Introduction to Quantum Mechanics | edition = 2<sup>nd</sup> ed. | publisher=Prentice Hall | year=2005 | id=ISBN 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|78-82}}

:<math>\psi=\psi_1\,\!</math>：阱左邊，<math>x< - L/2\,\!</math>（阱外區域），
:<math>\psi=\psi_2\,\!</math>：阱內，<math> - L/2<x<L/2\,\!</math>（阱內區域），
:<math>\psi=\psi_3\,\!</math>：阱右邊，<math>x>L/2\,\!</math>（阱外區域）。

這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的[[薛丁格方程式]]：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi\,\!</math>；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

其中，<math>\hbar\,\!</math>是[[普朗克常數|約化普朗克常數]]，<math>m\,\!</math>是粒子[[質量]]，<math>x\,\!</math>是粒子位置，<math>V(x)\,\!</math>是位勢，<math>E\,\!</math>是能量。

===阱內區域===
在阱內，位勢<math>V(x) = 0\,\!</math>，方程簡化為：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 \,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

設定[[波數]]<math>k\,\!</math>為
:<math>k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>

代入方程(2)：
:<math>\frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = - k^2 \psi_2 \,\!</math>。

這是一個經過頗多研究的[[常微分方程|二階常微分方程]]。一般解[[本徵函數]]<math>\psi_2(x)\,\!</math>是[[正弦函數]]與[[餘弦函數]]的[[線性組合]]：
:<math>\psi_2 = A \sin(kx) + B \cos(kx)\quad\,\!</math>；

其中，<math>A\,\!</math>與<math>B\,\!</math>都是[[複值]]常數，由[[邊界條件]]而決定。

===阱外區域===
在阱外，位勢<math>V(x) =V_0>0\,\!</math>，薛丁格方程為：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} =( E - V_0) \psi_1 \,\!</math>。

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

==束縛態==
假若，粒子的能量小於位勢：<math>E < V_0 \,\!</math>，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的[[量子態]]為[[束縛態]]（{{lang|en|bound state}}）。設定
:<math>\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span>

代入方程(1)：
:<math>\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1 \,\!</math>。

一般解是[[指數函數]]。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是
:<math>\psi_1 = Fe^{ - \alpha x}+ Ge^{ \alpha x}\,\!</math>，
:<math>\psi_3 = He^{ - \alpha x}+ Ie^{ \alpha x}\,\!</math>；

其中，<math>F\,\!</math>，<math>G\,\!</math>，<math>H\,\!</math>，<math>I\,\!</math>都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數<math>A\,\!</math>，<math>B\,\!</math>，<math>F\,\!</math>，<math>G\,\!</math>，<math>H\,\!</math>，<math>I\,\!</math>的值。

===束縛態的波函數===
[[薛丁格方程]]的解答必須具有[[連續函數|連續性]]與[[光滑函數|連續可微性]]。這些要求是前面導引出的[[微分方程]]的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數<math>\psi\,\!</math>的形式為：
:<math>\psi_1=Fe^{ - \alpha x}+ Ge^{ \alpha x}\,\!</math>：阱左邊，<math>x< - L/2\,\!</math>（阱外區域），
:<math>\psi_2=A \sin(kx) + B \cos(kx)\,\!</math>：阱內，<math> - L/2<x<L/2\,\!</math>（阱內區域），
:<math>\psi_3=He^{ - \alpha x}+ Ie^{ \alpha x}\,\!</math>：阱右邊，<math>x>L/2\,\!</math>（阱外區域）。

當<math>x\,\!</math>趨向負無窮，包含<math>F\,\!</math>的項目趨向無窮。類似地，當<math>x\,\!</math>趨向無窮，包含<math>I\,\!</math>的項目趨向無窮。可是，波函數在任何<math>x\,\!</math>都必須是有限值。因此，必須設定<math>F=I=0\,\!</math>。阱外區域的波函數變為
:<math>\psi_1(x) = Ge^{ \alpha x} \,\!</math>，
:<math>\psi_3(x) = He^{- \alpha x} \,\!</math>。

在阱左邊，隨著<math>x\,\!</math>越小，波函數<math>\psi_1(x)\,\!</math>呈指數遞減。而在阱右邊，隨著<math>x\,\!</math>越大，波函數<math>\psi_3(x)\,\!</math>呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠[[歸一化]]。

由於有限深方形阱對稱於<math>x=0\,\!</math>，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是[[奇函數]]就是[[偶函數]]。

===奇的波函數===
假若，波函數<math>\psi\,\!</math>是奇函數，則 
:<math>\psi_2=A \sin(kx)\,\!</math>，
:<math>G= - H\,\!</math>，
:<math>\psi_1( - x) = - \psi_3(x) ,\qquad\qquad x\ge 0\,\!</math>，

由於整個波函數<math>\psi \,\!</math>必須滿足[[連續函數|連續性]]與[[光滑函數|連續可微性]]。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：
:<math>\psi_1( - L/2) = \psi_2( - L/2) \,\!</math>
:<math>\left. \frac{d\psi_1}{dx}\right|_{x= - L/2} =\left. \frac{d\psi_2}{dx}\right|_{x= - L/2}  \,\!</math>

將波函數的公式代入：
:<math> G e^{-\alpha L / 2} = - A \sin(k L / 2)\,\!</math>，<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span>
:<math> \alpha G e^{- \alpha L / 2} = k A \cos(k L / 2)\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span>

方程(6)除以方程(5)，可以得到：
:<math> \alpha = - k  \cot(k L / 2)\,\!</math>。 

從方程(3)與(4)，可以求得常數<math>\alpha\,\!</math>與波數<math>k\,\!</math>的關係：
:<math>\alpha^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2\,\!</math>。

所以，波數是[[離散量|離散]]的，必須遵守以下方程：
:<math>k^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \sin^2(k L / 2)\,\!</math>。

這也造成了[[離散量|離散]]的能量。

===偶的波函數===
假若，波函數<math>\psi\,\!</math>是[[偶函數]]，則 
:<math>\psi_2=A \cos(kx)\,\!</math>，
:<math>G= H\,\!</math>，
:<math>\psi_1( - x) = \psi_3(x) ,\qquad\qquad x\ge 0\,\!</math>，

由於整個波函數<math>\psi \,\!</math>必須滿足[[連續函數|連續性]]與[[光滑函數|連續可微性]]。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：
:<math>\psi_1( - L/2) = \psi_2( - L/2) \,\!</math>
:<math>\left. \frac{d\psi_1}{dx}\right|_{x= - L/2} =\left. \frac{d\psi_2}{dx}\right|_{x= - L/2}  \,\!</math>

將波函數的公式代入：
:<math> G e^{-\alpha L / 2} = A \cos(k L / 2)\,\!</math>，<span style="position:absolute;right:15%">(7)</span>
:<math> \alpha G e^{- \alpha L / 2} = k A \sin(k L / 2)\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(8)</span>

方程(8)除以方程(7)，可以得到：
:<math> \alpha = k  \tan(k L / 2)\,\!</math>。 

從方程(3)與(4)，可以求得常數<math>\alpha\,\!</math>與波數<math>k\,\!</math>的關係：
:<math>\alpha^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2\,\!</math>。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：
:<math>k^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \cos^2(k L / 2)\,\!</math>。

這也造成了[[離散量|離散]]的能量。

==散射態==
假若，一個粒子的能量大於位勢，<math>E > V_0 \,\!</math>，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的[[散射]]（{{lang|en|scattering}}）行為。稱這粒子的[[量子態]]為'''散射態'''。稱這不被束縛的粒子為[[自由粒子]]。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為'''半自由粒子'''。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，<math>E > V_0 \,\!</math>，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於<math>V_0\,\!</math>的任意值。波數<math>\kappa\,\!</math>，用方程式表達為<math>\kappa=\frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar}\,\!</math>，也不是離散量。代入方程(1)：
:<math>\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = - \kappa^2 \psi_1 \,\!</math>，
:<math>\frac{d^2 \psi_3}{d x^2} = - \kappa^2 \psi_3 \,\!</math>。

解答形式與阱內區域的解答形式相同：
:<math>\psi_1 = C_1 \sin(\kappa x) + D_1 \cos(\kappa x)\,\!</math>，
:<math>\psi_3 = C_3 \sin(\kappa x) + D_3 \cos(\kappa x)\,\!</math>。

其中，<math>C_1\,\!</math>、<math>D_1\,\!</math>、<math>C_3\,\!</math>、<math>D_3\,\!</math>，都是常數。

==參閱==
*[[自由粒子]]
*[[無限深方形阱]]
*[[有限位勢壘]]
*[[球對稱位勢]]
*[[Delta位勢阱]]
*[[Delta位勢壘]]
*[[量子穿隧效應]]
* [[盒中氣體]]

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:量子力學|Y]]